Calcul stochastique

Pages: 121 (30167 mots) Publié le: 12 décembre 2013
Surface de volatilit´
e
Peter TANKOV
Universit´ Paris-Diderot (Paris VII)
e
tankov@math.univ-paris-diderot.fr
Derni`re m.`.j. April 1, 2012
e
a
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e
a
www.math.jussieu.fr/∼tankov/

2

Table de mati`res
e
1 Les1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

march´s de produits d´riv´s
e
e e
Historique . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctionnement des march´s d’options
e
Diff´rents types de sous-jacents . . . .
e
Les options europ´ennes . . . . . . . .
e
Les options am´ricaines . . . . . . . .
e
Les options exotiques . . . . . . . . . .

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5
5
5
6
8
8

2 Le mod`le de Black et Scholes et la volatilit´ implicite
e
e
2.1 Le mod`le de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.1 Portefeuille autofinan¸ant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
2.1.2 Evaluation risque-neutre . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Option sur un actif versant des dividendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Exemples de couverture en delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 L’utilisation du mod`le de Black-Scholes dans les march´sd’options . . . . . .
e
e
2.2 Compl´ments sur le mod`le de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
e
2.2.1 Couverture en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Couverture en delta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Robustesse de la formule de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3La volatilit´ implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.3.1 Rˆle de la volatilit´ implicite dans les march´s d’options . . . . . . . . . . . . .
o
e
e
2.3.2 Prise en compte des dividendes dans le calcul de la volatilit´ implicite . . . . .
e
2.3.3 Une interpretation de la volatilit´ implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.4Compl´ment: formule de Garman-Kohlhagen et cotation d’options sur taux de change
e

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3 Les
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

mod`les ` volatilit´ locale et la diffusion implicite
e
a
e
Mod`les ` volatilit´ locale . . . . . . . . . .. . . . . . .
e a
e
Mod`le CEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Arbre trinomial de pricing . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diffusion implicite de Dupire . . . . . . . . . . . . . . .
Volatilit´ implicite dans les mod`les ` volatilit´ locale .
e
e a
e
Calibration de la volatilit´ locale . . . . . . . . . . . . .
e

4 Les
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6

mod`les `volatilit´ stochastique
e
a
e
Equations de pricing et de couverture .
Application ` l’arbitrage de volatilit´ . .
a
e
Estimation de volatilit´ . . . . . . . . .
e
Param´trisation de Heston . . . . . . . .
e
M´thode de transform´e de Fourier pour
e
e
Compl´ment: les diffusions affines . . . .
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