BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
Session 2012

MATHÉMATIQUES

Série S

Enseignement Obligatoire

Durée de l’épreuve : 4 heures – Coefficient : 7

Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter les quatre exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

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EXERCICE 1 (5 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) . 50   On considère les points B (100,100) et C  50,  et la droite (D) d’équation y = x . e  On note f la fonction définie sur R dont la courbe représentative, notée Γ , est donnée en annexe, page 6. On suppose de plus qu’il existe deux réels a et b tels que : • pour tout x réel, f ( x) = x e a x +b • les points B et C appartiennent à la courbe Γ .
100a + b = 0  1) a) Montrer que le couple (a, b) est solution du système :  1 50a + b = − 2  b) En déduire que pour tout x réel, f ( x) = x e0,01x −1 . 2) Déterminer la limite de f en + ∞ . 3) a) Montrer que pour tout x réel f ( x) =

100 × 0, 01 x e0,01x . e

b) En déduire la limite de f en − ∞ . 4) Étudier les variations de la fonction f . On donnera le tableau de variations complet. 5) Étudier la position relative de la courbe Γ et de la droite (D). 6) a) Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale

∫

100 0

f (t ) dt .

b) On désigne par A l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par les droites d’équations x = 0 et x = 100 , la droite (D) et la courbe Γ .
Calculer A .

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EXERCICE 2 ( 5 points)
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; u , v ) , on considère les points A,