TP MAPLE no4 Courbes param´tr´es e e
Benjamin Favetto Vincent Mercat 12 novembre 2008

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Introduction

Le but de ce TP est de savoir ´tudier et tracer diff´rentes courbes param´tr´es en coordonn´es cart´e e e e e e siennes ou polaires. Pour acc´der aux fonctions de la biblioth`que plots, on n’oubliera pas de commencer e e par > with(plots);

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Courbes en coordonn´es cart´siennes e e
Pour tracer la courbe param´tr´e suivante, donn´e en coordonn´es cart´siennes par e e e e e x(t) = 2 sin(t) y(t) = cos(t)

pour t ∈ [0, 2π] il suffit d’utiliser la commande Maple plot avec la syntaxe suivante > plot([2*sin(t), cos(t), t=0..2*Pi]); On rappelle que pour superposer plusieurs courbes, on dispose de la fonction display : ceci peut s’av´rer e utile lors de l’´tude des branches infinies (pour tracer une asymptote, par exemple). e

2.1

Pour commencer x(t) = cos(λt) y(t) = sin(µt) pour diff´rentes valeurs de λ et µ e x(t) = t − t3 y(t) = t2 − t3

Tracer les courbes suivantes Lissajous :

x(t) = 2 sin(t) + cos(t) y(t) = sin3 (t) + 2 cos3 (t)

Faire varier les diff´rents intervalles d’´tudes. On pourra dans le premier cas, demander ` Maple de e e a trouver les points doubles de la courbe, ` l’aide de la fonction solve. Dans le deuxi`me cas, le trac´ nous a e e laisse penser qu’il existe deux points stationnaires : trouver les valeurs correspondantes du param`tre t, e et d´terminer leur nature. Dans le troisi`me cas on d´terminera le point double (` la main et avec Maple), e e e a et on fera soigneusement l’´tude des branches infinies. e Tracer ensuite la courbe d’´quation e x(t) = 1−2t t2 y(t) = exp(t + 1 ) t Observer ce qui se passe en 0 et
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et choisir les bons intervalles d’´tude. e

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2.2

Un peu plus de g´om´trie e e
Tracer la courbe d’´quation e
1 x(t) = t + 2t2 2 y(t) = t + 2t

Exercice 1

Discuter la nature des branches infinies et superposer le trac´ de la courbe ` celui des asymptotes. e a Exercice 2 Soit C l’astro¨ d’´quation ıde