´ Partie I. Etude de quelques exemples I.A.1. a) si (x, y) sont li´s, on peut supposer y = λx avec λ = 0. On compl`te (x) en (x, x 2, . . . , xn) base e e de V . L’endomorphisme dont la matrice associ´e dans cette base est : e  λ  ... 0 . . 1 . . .. . . . ... ... 1
3, . . . , n)

0

 0 A=. . . 0

est inversible et convient. b) si la famille (x, y) est libre, on la compl`te en (x, y, e f(x) = y, f(y) = x, et pour tout 3 ≤ k ≤ n, f( k ) = k . est :  0 1 0 ... 1 0 0 ...  A = 0 0 1 ... . . .. . . . . . 0 0 ... ...

base de V . On d´finit f par e La matrice associ´e a f dans cette base e `

 0 0  0 . . . 1

I.A.2. La propri´t´ (P1) n’est pas v´rifi´e, car une matrice de rang 1 n’est pas inversible (la dimension ee e e de V est sup´rieure a 2). e ` La propri´t´ (P2 ) est v´rifi´e, car I est inversible. ee e e La propri´t´ (P3 ) est v´rifi´e, car I est inversible. ee e e La propri´t´ (P4 ) n’est pas v´rifi´e, car GLn n’est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient pas le ee e e vecteur nul). La propri´t´ (P5 ) est v´rifi´e, car GLn est un groupe. ee e e I.B.1. Si l’on note (e1 , . . . , en ) une base, et si A est triangulaire dans cette base, il vient Aen = an,nen , ce qui signifie que en est vecteur propre associ´ a la valeur propre an,n. e` On en d´duit que la propri´t´ (P6 ) n’est pas v´rifi´e, car Vect(en ) est un sous-espace de dimension 1, e ee e e stable par tous les ´l´ments de L . ee ee e e I.B.2. La propri´t´ (P1) est v´rifi´e ; par exemple  0  ... 0 . . . 0 . .. . . . ... ... 1 0

 0 . . . 0

La propri´t´ (P2 ) est v´rifi´e, car I est triangulaire. ee e e La propri´t´ (P3 ) est v´rifi´e, car I est triangulaire et inversible. ee e e La propri´t´ (P4) est v´rifi´e ; si A, B sont triangulaire inf´rieures et λ est un scalaire, A + λB est ee e e e triangulaire inf´rieure. e La propri´t´ (P5 ) est v´rifi´e ; il suffit de faire le calcul... ee e e m01cp2ca.tex - page 1

I.C.1. Si A ∈ L et λ ∈ C, par les propri´t´s (P3), (P4), on