Exo7

Matrices
Á
Á
Á
Á
Á
Á

Les matrices sont des tableaux de nombres. La résolution d’un certain nombre de problèmes d’algèbre linéaire se ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.
Dans ce chapitre, K désigne un corps. On peut penser à Q, R ou C.

1. Définition
1.1. Définition
Définition 1
–
–
–
–

Une matrice A est un tableau rectangulaire d’éléments de K.
Elle est dite de taille n £ p si le tableau possède n lignes et p colonnes.
Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A.
Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté a i, j .

Un tel tableau est représenté de la manière suivante :
0
1 a 1,1 a 1,2 . . . a 1, j . . . a 1,p
B
C
B a 2,1 a 2,2 . . . a 2, j . . . a 2,p C
B
C
B ...
... ... ... ... ... C
B
C
A=B
ou
C
B a i,1 a i,2 . . . a i, j . . . a i,p C
B
C
B ...
... ... ... ... ... C
@
A a n,1 a n,2 . . . a n, j . . . a n,p

°
¢
A = a i, j 1… i…n

1… j … p

Exemple 1
A=

√

1 °2 5
0 3 7

!

est une matrice 2 £ 3 avec, par exemple, a 1,1 = 1 et a 2,3 = 7.
Encore quelques définitions :

1

ou

°

¢ a i, j .

2
Définition 2
– Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.
– L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté M n,p (K).
Les éléments de M n,p (R) sont appelés matrices réelles.

1.2. Matrices particulières
Voici quelques types de matrices intéressantes :
– Si n = p (même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est dite matrice carrée. On note M n (K) au lieu de M n,n (K).
0

a 1, 1
B
B a 2, 1
B .
B .
@ . a n,1

a 1,2 a 2,2
..
. a n,2

...
...
..
.
...

1 a 1,n
C
a 2,n C
.. C
C
. A a n,n

Les éléments a 1,1 , a 2,2 , . . . , a n,n forment la diagonale principale de la matrice.
– Une matrice qui n’a qu’une seule ligne (n = 1) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne.
On la note
≥
¥
A = a 1,1 a 1,2 . . . a 1,p .
– De même, une matrice qui n’a