Variables aléatoires continues
Issam Elhattab
École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca
Université Hassan II - Mohammedia

2011 - 2012

I. Elhattab (ENCG)

Variables continues

2011 - 2012

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Sommaire
1

Loi d’une v.a. continue

2

Fonction de répartition

3

Moments d’une v.a. continue

4

Quelques lois usuelles continues

5

Loi uniforme

6

Loi normale

7

Loi exponentielle

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Loi d’une v.a. continue

Loi d’une v.a. continue

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Loi d’une v.a. continue

Soit X une variable aléatoire dont les valeurs possibles est un intervalle de R. On dit que X est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction f : R → R+ , telle que, pour tout ensemble A ⊆ R on a
P(X ∈ A) =

(1)

f (x)dx.
A

On appelle f fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X.
L’équation (1) exprime que la probabilité que X prenne ses valeurs dans A est obtenu en intégrant f sur A. Par conséquent f doit vérifie :
P(X ∈ R) =

f (x)dx = 1.
R

On a aussi

b

P(a ≤ X ≤ b) =

f (x)dx. a Et pour a = b on a

a

P(X = a) =

f (x)dx = 0. a Ce qui exprime que la probabilité qu’une v.a. continue prenne une valeur donnée est nulle.

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Loi d’une v.a. continue

Théorème
Une fonction f définie sur R est une densité de probabilité si et seulement si :
1

f est continue sur R sauf peut être en un nombre dénombrable de points ;

2

f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R ;

3

R

f (x)dx = 1.

Exemple
Soit f une fonction définie, pour tout x ∈ R, par f (x) =

e−x
0

si si x ≥ 0; x < 0.

1

Montrer que f est une fonction de densité de probabilité.

2

Calculer P(X ≤ 1).

Solution :
1

Il est clair que f est continue sur R sauf au point 0. D’autant plus f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. On vérifie que R f (x)dx = 1. Par conséquent f est une densité de probabilité.

2

P(X ≤ 1) =

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1
−∞

f (x)dx = 1 − e−1 .