chapitre

1

Les suites

A Le programme
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Raisonnement par récurrence.

• Savoir mener un raisonnement par récurrence. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites.

Limite finie ou infinie d’une suite.

 Dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante (un) et un nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A.

Pour exprimer que un tend vers l quand n tend vers + , on dit que : « tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang ». Pour exprimer que un tend vers +  quand n tend vers + , on dit que : « tout intervalle de la forme ]A, + [ contient toutes les valeurs u n à partir d’un certain rang ».
Comme en classe de Première, il est important de varier les approches et les outils sur lesquels le raisonnement s’appuie.
On présente des exemples de suites qui n’ont pas de limite.

Limites et comparaison.

 Démontrer que si (un) et (vn) sont deux suites telles que :
– un est inférieur ou égal à vn à partir d’un certain rang ;

 On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l.
Le théorème dit « des gendarmes » est admis.

– un tend vers +  quand n tend vers +  ; alors vn tend vers +  quand n tend vers
+ .
Opérations sur les limites.

• Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites.

Comportement à l’infini de la suite (q n), q étant un nombre réel.

 Démontrer que la suite (q n), avec q 1, a pour limite + .

On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n :

• Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique.

On peut étudier des situations où intervient la limite de la somme des premiers termes d’une suite géométrique.

• Utiliser le théorème de convergence des
suites