Chapitre 1 Fonction d'une variable réelle
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Chapitre 1Fonction d'une variable réelle
I Fonctions et courbes de référence
Soit f une fonction définie sur un intervalle I sur R, on appelle représentation graphique de f, l'ensemble Cf des points de coordonnées ( x ; f(x) ) avec x ₤ I.
La courbe Cf a pour équation y = f(x).
1/ La fonction affine
On appelle fonction affine toute fonction f définie sur R par f(x) = ax + b où a et b sont deux réels donnés.
Remarque
si a = 0 alors f(x) = b, la fonction f est constante. si b = 0 alors f(x) = ax, la fonction f est linéaire.
Une fonction affine est dérivable sur R, donc si f(x) = ax + b alors f'(x) = a
Sens de variation a › 0 = fonction strictement croissante a ‹ 0 = fonction strictement décroissante
La représentation graphique de la fonction affine définie sur R par f(x) = ax + b est la droit d'équation y = ax + b
Tableau de signe de ax + b avec a ‡ 0
On a ax + b = 0 ssi
Pour a › 0 x -∞ -b / a +∞ ax + b - 0 +
Pour a ‹ 0 x -∞ -b / a +∞ ax + b + 0 -
2/ Les fonctions polynômes de degré 2
La fonction carré
La fonction carré est définie sur R par f(x) = x² f'(x) = 2x
x -∞ 0 +∞ f'(x) - 0 + f(x) +∞ -∞
0
Sa représentation graphique est une parabole. ( forme = u ou n )
Inégalités a et b sont deux réels négatifs a ‹ b ssi a² › b² a et b sont deux réels positifs a ‹ b ssi a² ‹ b²
Cas général
Les fonctions polynômes de degré 2 sont les fonctions f définies sur R par f(x) = ax² + bx + c avec a, b et c, trois réels et a ‡ 0
f'(x) = 2ax + b 2ax + b = 0 2ax = -b x = (-b/2a)
Les représentations graphiques des fonctions polynômes de degré 2 sont des paraboles. Le sommet de chacune de ces paraboles a pour abscisse (-b/2a) et pour ordonnée f(-b/2a)
Ces paraboles sont symétriques par rapport à la droite d'équation x = (-b/2a)
Tableau de variation f(x) = ax² + bx + c
Avec a › 0 → u x -∞ -b/2a +∞ f(x) f(-b/2a)
Avec a ‹ 0 → n x -∞