Chapitre

1

Fonction exponentielle

1. Page d’ouverture

• Énigme ✱
Pour tout nombre entier n, Pn est la puissance d’un disque dur en janvier de l’année de rang n sachant qu’en 2011
P0 = 4 To.
2

n

On a Pn = 2 3 P0.
Pour 2014, n = 3
P3 = 4 P0 = 16 To
Pour 2023, le rang est 12 P12 = 28 × P0 = 256 × 4 To P12 = 1 024 To

Énigme ✱✱
100
=2E
100
2
Ê
50 ˆ
= 2,25 E
Remboursement tous les 6 mois : Á1 +
Ë 100 ˜¯

Remboursement tous les n-ième de l’année : n Ê
100 ˆ n Á
˜
Ê
1ˆ
n
ÁË1 +
˜ = Á1 + ˜ .
100 ¯ n¯ Ë n Ê
1ˆ
u est la suite définie sur * par un = Á1 + ˜ . n¯ Ë
On saisit u dans la calculatrice afin d’obtenir un tableau de valeurs de la suite.
Remboursement sur 1 an : 1 +

Sur un écran calculatrice, il semble que la banque ne puisse pas récupérer en un an, 3 E.

2. Vérifier les acquis
1 Réponse a : f est dérivable en 1 et le nombre dérivé de f en 1 est – 1.
2 f ¢(1) est égal au coefficient directeur de la tan2 gente T. f ¢(1) =
3

1. a) x a 2 x
1
b) x a - 2 (avec x ≠ 0) x © Nathan. Hyperbole Term S

3

c) x a 3 x 2
1
d) x a
(avec x > 0)
2 x
2. a) f ¢( x ) = 6 x 2 - 5
1
b) g ¢( x ) = 1 + 2 x 3
c) h ¢( x ) = pour x > 0
2 x

a) Pour tout x > 0,
1
f ¢( x ) = 2 ¥ x +
¥ (2 x - 1)
2 x
2x - 1 f ¢( x ) = 2 x +
2 x
4x
2x - 1 f ¢( x ) =
+
2 x
2 x
6x - 1 f ¢( x ) =
2 x
- 3( x + 1) - 1 ¥ (1 - 3 x )
b) g ¢( x ) =
( x + 1)2
- 3x - 3 - 1 + 3x g ¢( x ) =
( x + 1)2
-4
g ¢( x ) =
( x + 1)2
2
1
c) h ¢( x ) = +
2
( x - 1)
2
( x - 1)2 - 4 h ¢( x ) =
2( x - 1)2
( x - 1 - 2)( x - 1 + 2) h ¢( x ) =
2( x - 1)2
( x - 3)( x + 1) h ¢( x ) =
2( x - 1)2
4

5 f est dérivable sur , et f ¢( x ) = 10 x - 3 f ¢(2) = 17 f (2) = 16
T : y = f ¢(2)( x - 2) + f (2)
T : y = 17 x - 18
6 a) f est une fonction dérivable sur I.
Si la dérivée est positive sur I, alors la fonction f est croissante sur I.
Si la dérivée est négative sur I, alors la fonction f est décroissante sur I.
Si la dérivée est nulle pour toutes valeurs de I alors la fonction f est constante sur I.
b) g est dérivable