Méthodes Ch 6(début) : Nombres complexes (d’après « Faire le point » TS éd. Hachette)
Comment écrire un nombre complexe sous forme algébrique ?

Méthode Pour écrire un nombre complexe sous forme algébrique, on développe en utilisant les propriétés de l’addition et de la multiplication dans C . Et, s’il y a un dénominateur, on le multiplie par son conjugué pour le rendre réel. Attention : x + i y n’est la forme algébrique que si x et y sont réels.

Applications
Ex. 1 : Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z = [pic] .
Ex. 2 : Soit f l’application de C – {-1} dans C définie par f(z) = [pic]. 1) Calculer , sous forme algébrique f( i ) ; f(– i ) ; f( –1+i ) . 2) Résoudre dans C l’équation f( z ) = i et écrire la solution sous forme algébrique .

Réponses non détaillées

Ex. 1 : z = 2 + i .
Ex. 2 : 1) f(i) = [pic] ; f(–i) = [pic] ; f(–1+i) = 1 + i . 2) z = [pic] .

Comment résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels ?

Méthode Pour résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans C , on calcule le discriminent et, suivant son signe , on applique les formules (s’il est nul on obtient une solution réelle , s’il est strictement positif on obtient deux solutions réelles et s’il est strictement négatif on obtient deux solutions complexes) .

Applications

Ex. 3 : Résoudre dans C les équations suivantes 1) z2 + 2 z + 3 = 0 ; 2) 2 z2 + z + 1 = 0 ; 3) z2 + 4 = 0 ; 4) 25 z2 –30z + 9 = 0 .
Ex. 4 : 1) Montrer que tout nombre complexe z vérifie la relation : 8 z4 + 8 z3 – z – 1 = ( z + 1 ) ( 2 z – 1 ) ( 4 z2 + 2 z + 1 ) . 2) En utilisant ce résultat, résoudre dans C, l’équation 8 z4 + 8 z3 – z – 1 =0. (D’après un sujet du bac)

Réponses non détaillées

Ex. 3 : 1)–1 –[pic]i et –1 +[pic]i ; 2) [pic] et [pic] ; 3) –2i et