Chap 6

TRIGONOMETRIE

I.Angles orientés.
1. Définitions
Cercle trigonométrique :
Le plan est muni d’un repère ( O ; I, J) orthonormal.
On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1, le sens direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Le radian
Sur un cercle trigonométrique C, la longueur de l’arc AM et la
ˆ s’expriment par le mesure en radians de l’angle au centre AOM même nombre.
ˆ = α rad et AM = ℓ, alors ℓ = α .
Si AOM
On a : degrés 180

90

60

45

30

radians

π

π
2

π
3

π
4

π
6

2. Repérage sur le cercle trigonométrique
C le cercle trigonométrique.
On représente IR sous la forme d’un axe d’origine I et dirigé vers le haut. On « enroule » IR sur le cercle trigonométrique.
A un nombre x > 0, on associe, en tournant dans le sens direct sur le cercle trigo, le point N, tel que la longueur de l’arc IN soit égale à x.
A un nombre x < 0, on associe de la même façon le point N, mais en tournant dans le sens indirect.
Soit N un point du cercle.
Soit x une mesure de l’arc orienté d’origine I et d’extrémité N. Alors, cet arc orienté possède d’autres mesures :x + 2π ; x + 4π ; x-2π , etc …
Toutes ces mesures sont du type

x + k2π où k ∈ !.

Parmi toutes ces mesures, il en existe une seule dans l’intervalle ] -π ; π ]. C’est la mesure principale. 3. Angles orientés de vecteurs
i. Définition :

 
Un couple de vecteurs non nuls définit un angle orienté que l’on note ( u , v ).


( sens de u vers v )

ii. Mesure d’un angle orienté

Si M et N sont 2 points du cercle trigonométrique.
M repéré par x ; N repéré par y.

 
Alors l’angle orienté ( OM , ON ) a pour mesure y – x.

Tout angle orienté comme tout arc orienté a une infinité de mesures.
Si α est l’une d’entre elles, les autres s’écrivent α + 2kπ, où k ∈ !.

 
On note ( u , v )= α + 2kπ où k ∈ !
 
Ou bien ( u , v ) = α [2 π] ( lire α modulo 2 π )

  u La seule