Concours National Commun – Session 2009 – TSI L’´ nonc´ de cette epreuve, particuli` re aux candidats de la fili` re TSI, e e ´ e e comporte 3 pages. L’usage de la calculatrice est interdit . Les candidats sont inform´s que la qualit´ de la r´daction et de la pr´sentation, la clart´ et la pr´cision des e e e e e e raisonnements constitueront des el´ments importants pour l’appr´ciation des copies. Il convient en particulier ´e e de rappeler avec pr´cision les r´ f´ rences des questions abord´es. e ee e

ˆ Si, au cours de l’´ preuve, un candidat rep` re ce qui lui semble etre une erreur d’´ nonc´ , il le e e e e signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ a prendre. e`

EXERCICE
Soit h la fonction d´ finie sur R2 par h(x, y) = e 1. (a) Justifier que h est continue sur R2 . (b) Montrer que h est de classe C 1 sur R2 \{(0, 0)} et calculer ses d´ riv´ es partielles premi` res e e e en tout point de cet ensemble. (c) h poss` de-t-elle des d´ riv´ es partielles premi` res en (0, 0) ? e e e e 2. (a) Montrer que U = {(x, y) ∈ R2 ; 0 < (b) h a-t-elle des points critiques dans U ? (c) Montrer que h est born´ e sur D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 e 4} et qu’elle y atteint ses bornes, puis d´ terminer les points de D en lesquels ces bornes sont atteintes. e x2 + y 2 < 2} est un ouvert de R2 . x2 + y 2 + y 2 − 1.

` PROBL E ME
` 1ere Partie : Calcul d’une int´ grale et etude d’une fonction e ´

A. Calcul de l’int´ grale de Gauss e
+∞

1. Montrer que l’int´ grale e
0

e−t dt est convergente ; sa valeur sera not´ e τ . e
+∞

2

2. Montrer que pour tout x

0, l’int´ grale e
0 +∞

e−xt dt est convergente. On pose alors 1 + t2 e−xt dt, x 1 + t2
2

2

ψ(x) =
0

0.

3. Calculer ψ(0) et justifier que ψ est d´ croissante sur R+ . e 4. (a) Montrer que ψ est continue sur R+ . (b) Montrer de mˆ me que ψ est de classe C 1 sur ]0, +∞[ ; pour cela on montrera que ψ est de e classe C 1 sur [a, +∞[ pour