Composition de fonctions
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–––––––– COMPOSITION DE DEUX FONCTIONS ––––––––DONNÉES Soient ¦ une fonction dont l'ensemble de définition est Df et g une fonction dont l'ensemble de définition est Dg.
DÉFINITION On note g o ¦ la fonction définie par g(¦(x)). Exemples : 1) Si ¦ et g sont deux fonctions définies (sur ) par ¦(x) = x + 1 et g(x) = x2 – 1, alors on a : (g o ¦)(x) = g(¦(x)) = (¦(x))2 – 1 = (x + 1)2 – 1 = x2 + 2x 2) Si ¦ et g sont deux fonctions définies par : ¦(x) = x + 1 (Df = ) et g(x) = (g o ¦)(x) = g(¦(x)) =
1
1 x
(Dg = *), alors on a :
¦( x )
=
1 x +1
Dans ce deuxième exemple, l'ensemble de définition de g o ¦ (ici \ {–1}) est différent de ceux de ¦ et g.
ENSEMBLE DE DÉFINITION DE LA FONCTION g o f À quelle(s) condition(s) sur x peut-on calculer g(¦(x)) ? Déjà, il faut que x Î Df (pour que ¦(x) soit calculable) Ensuite, il faut que les valeurs ¦(x) (obtenues pour x Î Df) soient dans l'ensemble Dg pour que g(¦(x)) soit calculable. Donc g o ¦ est définie pour les valeurs de x telles que : x Î Df et ¦(x) Î Dg Exemple : On donne ¦(x) = x + 3 et g(x) = 1 . Trouver l'ensemble de définition de g o ¦ (sans calculer g o ¦). x -1
On a Df = [–3 ; +¥[ et Dg = \ {1}. La fonction g o ¦ est définie si les deux conditions suivantes sont satisfaites : · x Î Df, c'est-à-dire x Î [–3 ; +¥[ · ¦(x) Î Dg, c'est-à-dire x + 3 ¹ 1, soit x + 3 ¹ 1, x ¹ – 2.
En conclusion, l'ensemble de définition de g o ¦ est [–3 ; –2[ È ]–2 ; +¥[.
NOTATION On note ¦(I) l'ensemble des valeurs ¦(x) où x Î I.
THÉORÈME : sens de variation de g o f Si ¦ est croissante sur un intervalle I et si g est croissante sur l'intervalle ¦(I) alors g o ¦ est croissante sur I. Si ¦ est décroissante sur un intervalle I et si g est décroissante sur l'intervalle ¦(I) alors g o¦ est croissante sur I. Si ¦ est croissante sur un intervalle I et si g est décroissante sur l'intervalle ¦(I) alors g o ¦ est décroissante sur I. Si ¦ est décroissante sur un intervalle I et si g est croissante sur