Concours mathématique
613 mots
3 pages
Language:French
Day:
1
Mardi 10 juillet 2012
Soit ABC un triangle et J le centre de son cercle exinscrit opposé au sommet A. Ce cercle est tangent au côté [BC] en M et aux droites (AB) et (AC), respectivement, en K et L. Les droites (LM ) et (BJ) se coupent en F et les droites (KM ) et (CJ) se coupent en G. Soit S le point d'intersection des droites (AF ) et (BC) et soit T le point d'intersection des droites (AG) et (BC). Montrer que M est le milieu du segment [ST ].
Problème 1.
(Le cercle exinscrit du triangle ABC opposé au sommet A est le cercle tangent au segment [BC], à la demi-droite [AB) au-delà de B et à la demi-droite [AC) au-delà de C ) Soit n ≥ 3 un entier et soit a2 , a3 , . . . , an des nombres réels strictement positifs tels que a2 a3 · · · an = 1. Montrer que :
Problème 2.
(1 + a2 )2 (1 + a3 )3 · · · (1 + an )n > nn .
Problème 3. La devinette du menteur est un jeu joué par deux joueurs A et B . Les règles du jeu dépendent de deux entiers strictement positifs k et n, connus par chacun des deux joueurs. Au début du jeu, le joueur A choisit deux entiers x et N véri ant 1 ≤ x ≤ N . Le joueur A garde x secret et, honnêtement, communique N au joueur B . Le joueur B essaye d'obtenir des informations concernant x en posant au joueur A des questions comme suit : pour chaque question, B choisit un ensemble arbitraire d'entiers strictement positifs S (éventuellement déjà choisi pour une question antérieure) et demande à A si x appartient à S ; le joueur B peut poser autant de telles questions qu'il le souhaite. Après chaque question, le joueur A doit immédiatement répondre par oui ou non, mais il a le droit de mentir autant de fois qu'il le souhaite ; la seule restriction étant que parmi toutes k + 1 réponses consécutives, au moins l'une de ces réponses doit être la vérité. Après que B ait posé autant de questions qu'il le souhaite, il doit proposer un ensemble X contenant au plus n entiers strictement positifs. Si x appartient à X , alors