Séries entières

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Sommaire
1. Séries Entières, Convergence
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Série entière . . . . . . . . . . . . . . Rayon de convergence . . . . . . . . Disque ouvert de convergence . . . . Recherche du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3

3.3. Développements usuels . . . . . . . . . . . .

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1 4. Développement en S.E., Somme de S.E.
4.1. Fonction développable en série entière . . . 4.2. Développement en série entière . . . . . . . 4.3. Sommation de certaines séries entières . . .

7
7 8 8

2. Opérations sur les Séries Entières
2.1. Somme de 2 séries entières . . . . . . . . . 2.2. Produit par un scalaire . . . . . . . . . . . .

4
4 4

5. Exponentielle complexe
5.1. Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . 5.2. Cohérence de cette définition . . . . . . . . .

9
9 9

3. Somme d’une Série Entière
3.1. Intervalle de convergence, continuité . . . . . 3.2. Dérivation et intégration terme à terme . . .

4 6. Compléments
4 4

9
9 9

6.1. Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Les mathématiciens du chapitre . . . . . . .

Une série de fonctions est une série du type : fn (x). Nous n’avons pas à notre programme d’étude générale des séries de fonctions. Nous avons cependant à étudier deux types de séries de fonctions que sont les séries entières et les séries de Fourier. On peut dire de toutes façons, qu’à x fixé, il s’agit d’une série numérique. Ainsi, l’ensemble des x pour lesquels la série fn (x) converge sera l’ensemble de définition de la somme. Cette somme est donc une fonction de x. Se posent alors les problèmes usuels, cette fonction est-elle continue, dérivable ?...

1.
1.1. Série entière

Séries Entières, Convergence an zn .

Définition : Une série entière de la variable z est une série de la forme : avec z ∈ K (K = R ou C) et an ∈ K (K = R ou C).

Exemple : Un polynôme est un cas très particulier et sans intérêt de série entière. Par contre, une série