Conjecture de Poincaré

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Conjecture de Poincaré
En mathématiques, la conjecture de Poincaré est une conjecture topologique portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions. Jusqu'à l'annonce de sa démonstration par Grigori Perelman en 2003, il s'agissait d'une conjecture non résolue, qui faisait partie des problèmes de Smale et des sept « problèmes du prix du millénaire » recensés et mis à prix en 2000 par l'Institut de mathématiques Clay[1]. En 2006, cette démonstration a été validée par l'attribution d'une médaille Fields à Perelman (qu'il a refusée) ; de plus, en mars 2010, l'institut Clay a officiellement décerné le prix correspondant à Perelman, prix qu'il a également refusé, en raison d'un « désaccord avec les décisions de la communauté mathématique[2] ».

Historique
Formulation
La conjecture fut formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, et s'énonce ainsi : « Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. » Poincaré ajouta, avec beaucoup de clairvoyance, un commentaire : « mais cette question nous entraînerait trop loin ». Précisément, la question est de savoir si toute variété de dimension 3 fermée, simplement connexe et sans bord, est homéomorphe à une sphère. Plus grossièrement, il s'agit de déterminer si « un objet à trois dimensions » donné possédant les mêmes propriétés que celles d'une sphère (notamment que toutes les boucles de celui-ci peuvent être resserrées en un point), est bien seulement une « déformation » d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire — surface dans l'espace ordinaire — possède seulement deux dimensions). Ni la sphère ni un autre espace tridimensionnel dépourvu de frontière autre que (l'espace ordinaire) ne peuvent être dessinés proprement comme objets dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la