Exercice 1 :
1. Démontrer en posant une fonction f que l’on pourra dériver plusieurs fois que pour tout xÎIR+ 1 – x2 2
£ cos x
On admet que pour tout xÎIR+ 1 – x2 2
£cos x £ 1 – x2 2
+
x4
24
Soit f la fonction définie sur IR* par f(x) =
1 – cos x x2 .
2. Déterminer la limite de f en zéro plus .
3. Déterminer la parité de la fonction f .
4. En déduire la limite de f en zéro moins .
5. En déduire la limite de f en zéro .
6. Déterminer la limite de sin2x 1 – cos x en zéro .
Exercice 2 :
A. Démontrer que l’équation cos x =
1
4 admet une unique solution notée a dans [0, p] .
Donner une valeur approchée de a à 0,01 près .
B. Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = cos 2x – cos x + 1 .
1. Expliquer pourquoi on peut réduire le domaine d’étude à [0,p] .
2. Démontrer que pour tout xÎ[0,p] f ‘(x) = sin x ( 1 – 4cos x)
3. Résoudre dans [0,p] l’équation f ‘(x) = 0 .
4. Résoudre dans [0,p] l’inéquation f ‘(x) > 0 .
5. Déterminer les variations f sur [0,p] .
6. Déterminer le minimum de f sur [0,p] .
C. 1. Déterminer f(p/3) et f(p/2) .
2. En déduire sans calcul mais en argumentant la résolution dans [0,p] de l’inéquation f(x) ³ 0 .
3. Retrouver 2. par le calcul .
Exercice 3 :
Soit fm la fonction définie par fm(x) = mx2 – 27 x - m où m est un nombre réel donné différent de 3 .
On note Cm la courbe représentative de fm dans un repère orthogonal .
1. Déterminer le domaine de définition U de fm .
2. Démontrer que pour tout xÎU fm(x) = mx +m2 + m3 – 27 x-m .
3. Démontrer que les courbes Cm admettent deux asymptotes à déterminer
4. Démontrer que les courbes Cm admettent un centre de symétrie à préciser .
5. Démontrer que lorsque m varie , les courbes Cm passent par un point fixe .
 
Bonne chance.
CONTROLE