Correction contrôle n°6 :
Exercice 1 :
1
1) Soit (𝑢𝑛 ) une suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛 = 𝑛+1. Calculer les quatre premiers termes de la suite. 1
1
1
1
1
1
1
𝑢0 =
=1
𝑢1 =
=
𝑢2 =
=
𝑢3 =
=
0+1
1+1 2
2+1 3
3+1 4
2) Soit (𝑣𝑛 ) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑣𝑛 = 2𝑛² − 4𝑛 + 1.
a) Calculer 𝑣0 , 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 et 𝑣10 .
𝑣0 = 1

𝑣1 = −1

𝑣2 = 1

𝑣3 = 7

𝑣10 = 161

b) Tracer dans un repère orthonormé la courbe représentative de la suite 𝑣.
𝑛
3) La suite (𝑢𝑛 ) est définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛 = 2 . Quel est le sens de variation de la suite (𝑢𝑛 ) ?
Justifier votre réponse.
Pour déterminer le sens de variation d’une suite, il faut étudier le signe de 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 . Soit 𝑛 ∈ ℕ.
𝑛+1 𝑛 𝑛+1−𝑛 1
𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 =
− =
=
2
2
2
2
Puisque 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≥ 0, on en déduit que la suite 𝑢 est croissante.
4) On considère (𝑣𝑛 ) une suite de premier terme 𝑣0 = 1 et qui vérifie pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 − 2𝑛.
Quel est le sens de variation de la suite (𝑣𝑛 ) ? Justifier votre réponse.
Soit 𝑛 ∈ ℕ. 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 − 2𝑛 donc 𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛 = −2𝑛. Puisque 𝑛 ≥ 0 alors −2𝑛 ≤ 0 et on en déduit que la suite
𝑣 est décroissante.
Exercice 2 :
Une urne contient dix boules blanches et 𝑛 boules roses. Un joueur effectue deux tirages avec remise dans cette urne.
Chaque boule blanche tirée rapporte 2€ et chaque boule rose fait perdre 3€. On note 𝑋 la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
1) Représenter un arbre pondéré modélisant la situation en précisant les probabilités des évènements utilisés.
Notons 𝐵 l’évènement « tirer une boule blanche » et 𝑅 l’évènement « tirer une boule rose ».

2) Quelles sont les valeurs prises par 𝑋 ?
Les valeurs prises par 𝑋 sont 4, −1 et 6.
20𝑛

3) En utilisant l’arbre pondéré, montrer que 𝑃(𝑋 = −1) = (10+𝑛)2
𝑛
10
10
𝑛
10𝑛
10𝑛
20𝑛
𝑃(𝑋 = −1) = 𝑃(𝑅𝐵) + 𝑃(𝐵𝑅) =
×
+
×
=
+
=
2
2
(10 + 𝑛)
(10 + 𝑛)2
10 + 𝑛 10 + 𝑛 10 + 𝑛 10 + 𝑛