Correction cont n° 4 Ex équa diff a. f ′ ( x ) = aeax = af ( x ) donc f est solution de l’équation y ' = ay .

b. h′ ( x ) = g′ ( x ) e− ax − ag ( x ) e− ax = ag ( x ) e− ax − ag ( x ) e− ax = 0 ⇒ h ( x ) = K . c. h ( x ) = K = g ( x ) e− ax ⇒ g ( x ) = Keax . 2. f0 ( x ) = a cos x + b sin x est solution de l’équation différentielle (E) : y ' = 2y + cos x si a. f0′ ( x ) = 2 f0 ( x ) + cos x ⇔ − a sin x + b cos x = 2 ( a cos x + b sin x ) + cos x ⇒  coefficient de cos x et de sin x). b. y ' = 2y a pour solutions y = Ke2x où K ∈ IR c. f est solution de (E) si et seulement si  ⇔ f ′ − f0′ = 2 ( f − f0 ) , soit ( f − f0 )’ = 2(f – f0) donc :  f0′ = 2 f0 + cos x f – f0 solution de (E0). d. Les solutions de (E) sont données par f − f0 = Ke2 x ⇔ f ( x ) =  − cos x + sin x  + Ke2 x .  
 2 5 1 5  π 2 Ke 2

 − a = 2b 1 2 ⇒b= ,a=− b = 2a + 1 5 5 

(en identifiant le

 f ' = 2 f + cos x

π π 1 π  2 e. k   =  − cos + sin  +   
 2   5 2 5 2 

=

1 1 + Keπ = 0 ⇔ K = − e−π 5 5

.

Ex complexes
1 1 z+ . 2 z  1 1 1. z ' E =  −i +  = 0 .  2 −i   1 1 2. z =  z +  ⇔ 2 z 2 = z 2 + 1 ⇔ z 2 = 1 ⇔ z = ±1 .  2 z 1 1 2  z + z  + 1 z 2 + 1 + 2 z ( z + 1 )2 z '+ 1 2   z +1   3. a. = = 2 = =  . 2 1 z '− 1 1   z −1  z +  − 1 z + 1 − 2z ( z − 1 )  2 z z' =

b.

1− z' M ′B z '− 1 z +1  MB  = = = =  . M ′A −1 − z ' z '+ 1 z −1  MA  uuuuu uuuur r uuuu uuuu r r  z '+ 1   z +1  M ′A, M ′B = arg   = 2 arg  z − 1  = 2 M A, M B .  z '− 1    M 'B 4. M est un point de ∆ : M A = M B ⇒ = 12 = 1 ⇔ M ' B = M ' A ; M'A uuuu uuuu r r uuuuu uuuur r π π 5. a. M appartient à Γ : M A, M B = ± ⇒ M ′A, M ′B = ±2 = ±π 2 2
2 2

(

)

(

)

M’ est un point de ∆ . donc M’ appartient à (AB) car A,M’ et B

(

)

(

)

alignés.
1 1 b. Si M’ a pour affixe Z, où est M ? Z =  z +  ⇔ z 2 − 2 Zz + 1 = 0 qui a toujours une ou deux solutions. Tous   2 z les points ont des antécédents par f, qu’ils