Correction du baccalauréat s france juin 2002
1574 mots
7 pages
Correction du baccalauréat S France juin 2002E XERCICE 1 Commun tous les candidats
4 points
1. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement leur produit scalaire (le repère − − →→ est orthonormal) est nul. D’où U .V = 0 ⇐⇒ a(1 + b) − 5 + b(1 − a) = 0 ⇐⇒ a + b − 5 = 0 ⇐⇒ a + b = 5. Les tirages (a, b) favorables sont : (1, 4), (2, 3), (3, 2), et (4, 1) sur 4 × 4 tirages possibles. 4 1 − − →→ = . p U .V orthogonaux ⇐⇒ 16 4 2. a. D’aprs la question 1. A et B ont chacun 1 chance sur 4 d’obtenir des vecteurs orthogonaux et donc 3 chances sur 4 de ne pas obtenir des vecteurs orthogonaux. Au premier jeu on a donc si A obtient une somme égale à 5 et B non (ou 1 3 3 le contraire), p(A1 ) = × = = p(B1 ). 4 4 16 D’après la loi des probabilités totales, on a p(A1 ) + p(B1 ) + p(C1 ) = 1 ⇐⇒ 10 5 6 = ou encore p(C1 ) = . p(C1 ) = 1 − 16 16 8 b. À chaque nouveau jeu les probabilités de gagner pour A, gagner pour B 3 3 10 et rejouer sont respectivement , et . 16 16 16 10 On a donc p (Cn+1 ) = p (C n ) . On reconnait une suite géométrique de 16 10 n 5 n 10 . On a donc p (Cn ) = = . raison 16 16 8 3 5 n 3 De même p (An+1 ) = p (C n ) × = × , soit en décalant l’indice de 16 8 16 n−1 3 5 1 : p (An ) = × . 16 8 3. On a −1 < 5 5 n−1 = 0, donc lim p (An ) = 0. < 1, donc lim n→+∞ n→+∞ 8 8 n−1 3 5 5 3 p (An ) < 0, 01 ⇐⇒ × + (n − 1) ln < −2ln 10 ⇐⇒ < 10−2 ⇐⇒ ln 16 8 16 8 3 −2ln 10 − ln 16 (ATTENTION : 5 < 1, donc ln 5 < 0, l’ordre CHANGE) n−1 5 8 8 ln 8 ≈ 6, 2 ⇐⇒ n > 7, 2. Conclusion le plus petit naturel est n = 8. (la calculatrice donne bien pour n = 7 une probabilité de 0, 011 et pour n = 8 une probabilité de 0, 00698.
Terminale S France
E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
5 points
1. z 2 − 2z 3 + 4 = 0.∆ = 12 − 16 = −4 = (2i)2 . D’où les deux solutions qui sont justement a = 3 + i et b = a = 3 − i. On a |a|2 = |b|2 = 3 + 1 = 4 = 22 . Donc |a| = 2. En factorisant 2, on a a = π π 3 1 π π + i = 2 cos + i sin = 2ei 6 . b est le