Problème :
1) a) f32+h=25-432+h2=25-494+3h+h2=25-9-12h-4h2=16-12h-4h² f32=25-4*322=25-9=16=4 Th=f32+h-f32h=16-12h-4h²-4h=16-12h-4h²-4h*16-12h-4h²+416-12h-4h²+4
Th=16-12h-4h22-4216-12h-4h2+4h=16-12h-4h2-1616-12h-4h2+4h=-12h-4h216-12h-4h2+4h=h-12-4h16-12h-4h2+4h
Th=-12-4h16-12h-4h²+4
b) limh→016-12h-4h2=16 limh→16h=4 Donc, par composition, limh→016-12h-4h²=4
Donc limh→016-12h-4h²+4=8 limh→0-12-4h=-12 Donc, par quotient, limh→0Th=-128=-32
La limite est finie, f est donc dérivable en 32 et f'32=-32
2) Soit t la durée écoulée entre l'instant initial t0 et tx , Va la vitesse de A et Vb la vitesse de B
Va=OAt donc OA=t*Va=2t
OAB est un triangle rectangle en O.Selon le théorème de Pythagore :
AB2=OA2+OB2
OB2=AB2-OA2=52-2t2=25-4t2 donc OB=25-4t²=f(t)
Vb=OBt=ftt
Si A est à 3cm de O, alors OA=3 cm t=OAVa=32 Vb=f3232=4*23=83 cm.s-1
Exercice :
1) A appartient à C donc A(a;a3)
H est le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées, donc H0;a3
I est tel que HI=3HO donc I0;-2a3
2) Soit TA la tangente en A à C
TA : y=f'ax-a+fa=3a2x-a+a3=3a2x-3a3+a3=3a2x-2a3
Or, par définition, A∈TA
Soit g la fonction définie sur R par gx=3a2x-2a3
TA est la courbe représentative de g
Soit I'le point d'abscisse 0 tel que I'∈TA g0=3a2*0-2a3=-2a3 Donc I'0;-2a3.I et I'sont donc confondus, c'est-à-dire I∈TA
Par défintiion TA est une droite ;A∈TA et I∈TA
Or, il ne peut exister qu'une seule droite qui relie deux points.
La seule droite reliant A et I est donc bien TA
3) T0,5=3*0,5²x-2*0,53=0,75x-0,25
T1=3*12x-2*13=3x-2