Licence sciences économiques 3ème année-Magistère économie et gestion
Mathématiques 5 Cours Mme Hayek
Corrigé T.D. n̊ 4-5-6
Exercice 1
a) f est continue en (0, 0) ssi lim
(x1,x2)→(0,0)
f(x1, x2) = f(0, 0).
Le long de la droite x2 = x1, f(x1, x1) = 1/2. (ou bien le long de la droite x2 = 0, f(x1, 0) =
2).
Donc on ne peut pas avoir lim
(x1,x2)→(0,0)
f(x1, x2) = 0 = f(0, 0).
b) Si f est différentiable en (0, 0) alors f est continue en (0, 0).
Ici f n’est pas continue en (0, 0) donc f n’est pas différentiable …afficher plus de contenu…

D’où det = −144 < 0, donc Hess(f, (0, 0)) est indéfinie, donc (0, 0) ne fournit ni max ni min à f .
En (3, 18), Hess(f, (3, 18)) =
[
216 −12
−12 2
]
.
D’où det = 216× 2− 144 = 288 > 0. Les 2 valeurs propres sont du même signe. trace = 216 + 2 = 218 > 0. Donc les 2 valeurs propres sont strictement positives. Ainsi
Hess(f, (3, 18)) est définie positive ce qui implique que (3, 18) fournit un minimum local strict à f (CS2).
Idem en (−3,−18).
4)f(x1, x2) = −6x2
1 + 5x1 − 4x2
2 + 4x1x2. f est de classe C2 sur IR2. On cherche les candidats en résolvant :
{
f ′x1(x1, x2) = 0 f ′x2(x1, x2) = 0 , c’est-à-dire
{−12x1 + 5 + 4x2 = 0
−8x2 + 4x1 = 0 .
Ce qui donne un candidat (1
2 ,
1
4)
On calcule Hess(f, (x1, x2)) =
[
−12 4
4 −8
]
.
∀(x1, x2) ∈ IR2, detHess(f, (x1, x2)) = 80 > 0 et traceHess(f, (x1, x2)) = −20 < 0, …afficher plus de contenu…

Exercice 12
a) Hess(f, ~x) =
 2 4 0
4 6x2 0
0 0 2

b) f est convexe sur A ⇔ Hess(f, ~x) est semi-définie positive sur A ⇔ les valeurs propres de Hess(f, ~x) sont ≥ 0 sur A.
PHess(λ) = det(Hess−λI) = (2−λ)[(2−λ)(6x2−λ)−16] = (2−λ)[λ2−λ(2+6x2)+12x2−16]. λ1 = 2 > 0 est une valeur propre. Pour les 2 autres qui sont racines du polynôme λ2 − λ(2 + 6x2) + 12x2 − 16, on sait que λ2λ3 = 12x2 − 16 et λ2 + λ3 = 2 + 6x2.
Si x2 < 4/3 alors λ2λ3 < 0 et donc λ2 et λ3 sont de signes opposés.
Si x2 = 4/3 alors λ2λ3 = 0 donc λ2 = 0 et λ3 = 10 > 0.
Si x2 > 4/3 alors λ2λ3 > 0 et donc λ2 et λ3 sont de même signe. Comme λ2 +λ3 = 2 + 6x2 >
2 + 6× 4/3 = 10, λ2 et λ3 sont strictement positives.
On pose A = {~x = (x1, x2, x3) ∈ IR3, t.q. x2