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Corrigé de l’examen d’Analyse 1,
L1MPI, Semestre 1, Session 1, 2021-2022
EXERCICES ET SOLUTIONS
Exercice 1
1 Montrer qu’il n’existe pas de nombre rationnel r tel que r2 = 2. (0,75 pt)
2 En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que pour tous réels positifs a et b, on a : (0,75 pt) n √ a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b, ∀n ∈ N.
3 Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N∗,
E
(
E(nx)
n
)
= E(x), où E est la fonction partie entière. (0,75 pt)
4 Montrer que
√√
2 + 2 est irrationnel. (0,5 pt)
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Puisque n−1∑ k=1
{nk( n
√
a)k( n
√
b)n−k > 0, on obtient alors que a+ b ≤
(
n
√
a+ n
√
b
)n
. D’où a+ b = ( n
√
a+ b)n ≤
(
n
√
a+ n
√
b
)n
=⇒ n
√
a+ b ≤ n
√
a+ n
√
b ∀n ∈ N.
Cela découle du fait que les réels a et b sont strictement positifs.2
3 Par définition de la partie entière, on a :
E(x) ≤ x⇒ nE(x) ≤ nx⇒ nE(x) ≤ E(nx)⇒ E(x) ≤ E(nx) n , pour tout n ∈ N∗ ; par conséquent
E(x) ≤ E
(
E(nx) n )
. (1)
De la même manière, on a : ∀n ∈ N∗,
E(nx) ≤ nx⇒ E(nx) n ≤ x⇒ E
(
E(nx) n )
≤ E(nx) n ≤ x, d’où E
(
E(nx) n )
≤ E(x). (2)
D’après (1) et (2), on obtient le résultat.
4 Montrons que
√√
2 + 2 est irrationnel.
Supposons qu’il existe deux entiers strictement positifs p et q tels que
√√
2 + 2 = p q avec pgcd(p, q) = 1. Alors, on a :(√√
2 + 2
)2
= p2 q2 =⇒ …afficher plus de contenu…

• De plus, lim n→+∞ (A2n −A2n+1) = lim n→+∞ 1
2n+ 1 = 0.
Les suites (A2n) et (A2n+1) sont donc adjacentes. b D’après la question précédente, les sous-suites (A2n) et (A2n+1) sont adjacentes, par conséquent elles convergent vers la même limite. Il existe donc une partition de sous-suites de la suite (An) qui convergent vers la même limite, la suite (An) est donc convergente.
Exercice 7
Soit (un)n>0 la suite définie par u0 > 0, u1 > 0 et
∀n ∈ N∗, un+1 = un
1 + unun−1
.
1 Monter que un > 0, pour tout n > 0. (1 pt)
2 Montrer que la suite (un)n>0 converge et calculer sa limite. (0,5 + 0,5 pt)
Correction
1 Utilisons la récurrence double :
• Double initialisation : par hypothèse, on a u0 > 0 et u1 >