CNCM - Session 2021 Corrigé de maths 2 Filière TSI
Exercice
A =

−1
2
3
2
−1
2
0 1 −1
2
0 0
1
2
 , P =
1 1 1
0 1 1
0 1 0
 , Q =
1 −1 0
0 0 1
0 1 −1
 , D =

−1
2
0 0
0
1
2
0
0 0 1
 , I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

1. (a) on vérifie que PQ = I3
(b) PQ = I3 ⇒ A est inversible et P−1 = Q
(c) on vérifei que AP = PD
(d) AP = PD ⇒ A = PDP−1 , A est semblable à une matrice diagoanle , donc A est diagonalisable .
2.
u =
1
0
0
 , v =
1
1
1
 , w =
1
1
0

On vérifie que …afficher plus de contenu…

(a) Par récurrence pourt out n ∈ N : An = PDnP−1
(b) pourt out n ∈ N : Dn =

(−1)n
2n
0 0
0
1
2n
0
0 0 1

(c)
A=PDnP−1 =
1 1 1
0 1 1
0 1 0


(−1)n
2n
0 0
0
1
2n
0
0 0 1

1 −1 0
0 0 1
0 1 −1
 =

(−1)n
2n
1− (−1)n
2n
1
2n
− 1
0 1
1
2n
− 1
0 0
1
2n

4. On pose pour tout n ∈ N∗, Un =
anbn
cn
 , Un+1 = AUn; U0 =
 1
−1
1

(a) On montre par récurence que Un = AnU0
(b)
Un = AnU0 ⇒
anbn
cn
 =

(−1)n
2n
1− (−1)n
2n
1
2n
− 1
0 1
1
2n
− 1
0 0
1
2n

 1
−1
1

⇒

an =
(−1)n
2n
− 1 +
(−1)n
2n
+
1
2n
− 1 =
(−1)n
2n−1
+
1
2n
− 2 bn =
1 …afficher plus de contenu…

• Si a = 1 alors 0 est une valeur propre simple et 1 valeur propres double .
• Si a = 2 alors 2 valeur propre simple , et 1 valeur propre double .
3.
 e′1 = 2e1 + e3 e′2 = e1 − e2 e′3 = −2e1 + e2
(a) B′ = (e′1, e
′
2, e
′
3) est de cardinal trois , egale à la dimension de E det(B′) =
∣∣∣∣∣∣
2 1 −2
0 −1 1
1 0 0
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1 −2
−1 1
∣∣∣∣ = 1 − 2 6= 0 donc B′ est une famille libre , donc c’est une base de E .
(b) on
 fa(e′1) = e′1 fa(e′2) = (a− 1)e′2 fa(e′3) = ae′3
(c) fa est diagonalisable , car il existe une base B′ de E formée par le svecteurs propres de fa (d) matrice de passage est : P =
2 1 −2
0 −1 1
1 0 0

(e) Da =
1 0 0
0 a− 1 0
0 a
 et ona : Ma = PDaP
−1
(f) lorsque Ma est inversible alors M−1a = PD−1a P−1
Partie