Durée : 4 heures

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats

4 points

1. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi exponentielle de paramètre λ ; donc p(X > 10) = e−10λ = 0, 286 ⇐⇒ −10λ = ln 0, 286 ln 0, 286 . 10 La calculatrice donne λ = 0, 125 à 10−3 près. ou encore λ = −

2. 6 mois = 0,5 année. On a donc p(X

3. L’appareil ayant déjà fonctionné 8 ans, la probabilité qu’il ait une durée de vie p[(X > 10) ∩ (X > 8)] p(X > 10) = = supérieure dix ans est égale à p (X >8 (X > 10) = p(X > 8) p(X > 8) e−0,125×10 = e−0,125×2 ≈ 0, 779. e−0,125×8 4. On a ici un schéma de Bernoulli, avec comme succès le fait pour un oscilloscope d’avoir une durée de vie supérieure à 10 ans, dont la probabilité est égale à 0,286 et un nombre d’appareils égal à 15. La probabilité de n’avoir aucun oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est donc : (1 − 0, 286)15 = 0, 71415 . Donc inversement la probabilité d’avoir au moins un oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est égale à : 1 − 0, 71415 ≈ 0, 994. 5. On reprend la question précédente avec non plus 15, mais n oscilloscopes. La probabilité qu’au moins 1 sur les n oscilloscopes fonctionne après 10 ans est donc : 1 − 0, 714n . Il faut chercher le plus petit naturel n tel que 1 − 0, 714n 0, 999 ⇐⇒ 0, 001 0, 714n ⇐⇒ ln 0, 001 ln 0, 001 ln 0, 714 n ln 0, 714 n (car ln 0, 714 <

0, 5) = 1−e−0,125×0,5 = 1−e−0,062 5 ≈ 0, 061.

(par croissance de la fonction ln), soit finalement 0). La calculatrice donne 20, 5 n. Le premier naturel convenant est donc 21.

E XERCICE 2 Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Corrigé du baccalauréat S

A. P M. E. P . .

6 Γ2 4 2 B
+

A
+

Γ1

−3

→ − v − O → u −2 −4 −6 C −8 −10 −12
+ +

3 I

6

9

12

D

1.

a. b. Z =

zI − zA −2 − 4i 1 + 2i (1 + 2i)(−2 − i) −5i = = = = = −i. zI − zB 4 − 2i i−2 (i − 2)(−2 − i) 5 IA = 1 ⇐⇒ IA = IB. On en déduit pour le