Durée : 4 heures

Corrigé du baccalauréat S Polynésie septembre 2005
E XERCICE 1

5 points

1. À partir de a0 = 1, b 0 = 0, c 0 = 0, on obtient :
2
1 c1 = a1 = 0 b1 =
3
3
1 2 5
1
b2 = 0 c2 = + = a2 =
6
6 6 6
1
1 1 2 17 a3 = 0 b3 = c3 = + + =
18
9 6 3 18
2. a. De trois choses l’une : ou la puce est en A, ou elle est en B, ou elle est en
C ; d’où an + b n + c n = 1.
D’autre part elle ne peut être en A que si elle était précédemment en B :
1
an+1 = b n et elle ne peut être en B que si elle était précédemment en A,
2
1 soit b n+1 = an .
3
1
1
b. D’après la question précédente : an+2 = b n+1 et b n+1 = an ; donc an+2 =
2
3
1 1
1
an = an , ce pour tout n ∈ N.
2 3
6
c. On a a2×0 = 1 =

1
6

0

(initialisation).

Hérédité : supposons que a2p =

1
6

p

1 et calculons a2p+2 = a2p
6

1
1 p
1 p+1
×
=
. La formule est donc vraie au rang p + 1. La récur6
6
6 rence est établie. D’autre part par récurrence immédiate : a1 = a3 = · · · = a2p+1 = 0.
1
Il suit que b 2p = a2p−1 = 0 quel que soit p.
3
1
1 1 p
Calculons b 2p+1 = a2p =
.
3
3 6
1 n
3. Pour (an ) : les termes de rang impair sont nuls, et on sait que lim
= 0. n→+∞ 6
Donc lim an = 0.
=

n→+∞

Pour la même raison lim b n = 0. n→+∞ Or c n = 1 − an − b n . Donc lim c n = 1. Au bout d’un certain temps la puce n→+∞ sera pratiquement toujours dans la case C.

E XERCICE 2

5 points

Partie A x 2 + 16 y =
. La représentation y = − x 2 + 16 graphique de H est donc la réunion de la représentation C de la fonction x −→ x 2 + 16 et de la courbe C ′ symétrique autour de (Ox) de C .

1. y 2 − x 2 = 16 ⇐⇒ y 2 = x 2 + 16 ⇐⇒

Corrigé du baccalauréat S septembre 2005

x 2 + 16 est définie sur R ; composée de deux fonctions dérivables, x elle est dérivable sur Ret f ′ (x) =
. La fonction est donc décroissante x 2 + 16 sur R− et croissante sur R+ .
On a lim f (x) = lim f (x) = +∞.

2. f (x) =

x→+∞

x→−∞

a. Calculons ∆(x) = f (x) − x = x 2 + 16 − x 2

x 2 + 16 − x =

( x 2 + 16 − x)( x 2 + 16 + x x 2 + 16 + x

=

16
=
. x 2 + 16 + x x 2 +