Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats

5 points

1. D’après le tableau de variations f est croissante puis décroissante, donc :
• f ′ (x) > 0 sur ] − ∞ ; a[ ;
• f ′ (x) < 0 sur ]a ; +∞[ ;
• f ′ (a) = 0.

2. a. Seuls les points de C 2 ont des ordonnées positives puis négatives, donc seule C 2 peut être la courbe représentative de f ′ .
Donc C 1 est la courbe représentative d’une primitive F de f .
b. C 2 coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse a ; d’après la figure 1 < a < 2.
La tangente à la courbe C 2 représentative de F au point d’abscisse a a pour coefficient directeur F ′ (a) = f (a) = b ; d’après la figure ce coefficient directeur est supérieur à zéro. Conclusion f (a) = b > 0.

3. a. Si g (x) = αx + β, alors g ′ (x) = α.
On a donc :

g (x) − 2g ′ (x) = x ⇐⇒ αx + β − 2α = x.
Cette égalité est vraie quel que soit le réel x.
En particulier pour x = 0, on a β − 2α = 0 ⇐⇒ β = 2α.
Pour x = 1, on a α + β − 2α = 1 ⇐⇒ α = 1.

Finalement α = 1 et β = 2α = 2.
La fonction g définie sur R par g (x) = x + 2 vérifie l’équation différentielle.

b. La dérivée de la fonction f − g est la fonction f ′ − g ′ et
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1 f (x) − x − 1 = ( f (x) − x − 2) = [ f (x) − (x + 2)] = [ f (x) − g (x)]. f ′ (x) − g ′ (x) =
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2
2
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1
La fonction f − g est donc une solution de l’équation différentielle y ′ = y.
2
c. On sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par
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x −→ ke 2 x , avec k ∈ R quelconque.

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1

1

On a donc f (x) − g (x) = ke 2 x ⇐⇒ f (x) = ke 2 x + g (x) = ke 2 x + x + 2.
1 1
d. On a f ′ (x) = k × e 2 x + 1.
2
1
1 1 k 1 k 1
1
′
On sait que f (0) = ⇐⇒ k × e 2 ×0 + 1 = ⇐⇒ + 1 = ⇐⇒ = − ⇐⇒ k = −1.
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2
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2
2
2
1
2 x.
On a donc pour tout réel x, f (x) = x + 2 − e x2 ;
Une primitive de la fonction x −→ x est la fonction x −→
2
Une primitive de la fonction x −→ 2 est la fonction x −→ 2x ;
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1

Une