BTS CPI 2006, corrigé EXERCICE 1 A) 1) je calcule ∆ = 4 − 20 = −16 < 0 . Puis je calcule les solutions de −2 ± 4i = −1 ± 2i . Les solutions l’équation caractéristiques: ce sont z = 2 de E0 (qui est l’équation homogène de E ), sont donc les f ( x ) = e − x ( λ cos ( 2x ) + µ sin ( 2x )) où λ, µ sont des paramètres réels qu’on peut librement choisir. 2) j’ai g ( x ) = −x 3 + 2x 2 − x donc g′ ( x ) = −3x 2 + 4 x − 1 et g′′ ( x ) = −6x + 4 . À présent je remplace dans l’équa diff, g′′ ( x ) + 2 g′ ( x ) + 5g ( x )
= −6x + 4 + 2 −3x 2 + 4 x − 1 + 5 −x 3 + 2x 2 − x = −5x 3 + 4 x 2 − 3x + 2 cqfd.

B) Comme souvent, la fonction étudiée ici est la fonction solution de l’équation différentielle précédente. Attention, ce n’est pas une règle systématique dans les sujets de BTS. 1) DL ordre 3:
⎛ ⎞⎛ x2 x3 ( 2x )3 + x 3ε x ⎞ − x 3 + 2x 2 − x 3 f ( x) = ⎜1 − x + − + x ε ( x )⎟ ⎜ 2x − ( )⎟ ⎝ 2 6 ⎠⎝ 6 ⎠      e− x sin 2 x

⎛ ⎞ 8x 4 f ( x ) = ⎜ 2x −2x 2 + x 3 − + x 3ε ( x )⎟ − x 3 +2x 2 − x = x − x 3 + x 3ε ( x ) ⎝ 6 ⎠ 3
3

(

) (

)

4 2) Tangente en 0: y = x , ensuite f ( x ) − y = − x 3 (1 + ε1 ( x )) positif 3 localement à gauche 0, négatif à droite. Par conséquent, localement Cf est en au dessus puis en dessous de ∆:

3) Les solutions de E sont donc les u ( x ) = e− x ( λ cos ( 2x ) + µ sin ( 2x )) − x 3 + 2x 2 − x ( λ , µ ∈ ) 2) j’écris que f ( 0 ) = 0 ⇔ λ = 0 puis je calcule d −x ⎡ e ( µ sin ( 2x )) − x 3 + 2x 2 − x ⎤ f ′(x) = ⎦ dx ⎣ f ′ ( x ) = µe− x ( − sin 2x + 2 cos 2x ) − 3x 2 + 4 x − 1 d’où f ′ ( 0 ) = 2 µ − 1 d’où µ = 1 donc finalement f ( x ) = e− x sin ( 2x ) − x 3 + 2x 2 − x
Localement, cela veut dire dans un voisinage autour de 0. Car évidemment on ne sait rien de la fonction ε , sinon qu’elle prend des valeurs très petites pour x → 0 . Donc 1 + ε1 ( x ) peut très bien devenir négatif pour x grand. Globalement, Cf pourrait traverser ∆ ailleurs.

EXERCICE 2, probabilités non corrigé ici, car la probabilités sont hors