Correction BTS CGO Mathématiques 2011
Exercice 1 : A. Evénements indépendants, probabilités conditionnelles
1°) = ∩ = = 0,02 × 0,03 = , × car et sont indépendants = ∪

2°)

correspond à : soit le défaut "a" soit le défaut "b" soit les deux défauts donc = ∪ = + − ∩ = 0,02 + 0,03 − 0,0006 = , donc : ̅∩ = ∩ = = 1− ̅ × = 1 − 0,0494 = , = 0,98 × 0,97 = 0,9506 .

.

3°) est le contraire de Autre méthode : = 4°) =
∩

or

(car dans "être défectueux et avoir les deux défauts", "être est inclus dans

défectueux" est inutile donc cela est équivalent à "avoir les deux défaut" autrement dit ). 0,0006 = = ≈ , 0,0494

1°) On a une série de = 40 prélèvements indépendants, chacun pouvant déboucher sur deux possibilités : "le sachet est défectueux" (succès) de probabilité = 0,05 ; et "le sachet n'est pas défectueux" (échec) de probabilité = 1 − = 0,95. Donc suit la loi binomiale de paramètres = et = , . 2°) 3°) =2 = ≥1 =1− = × 0, 05 × 0,95 =0 =1− ≈ , × 0, 05 × 0,95 ≈ ,

B. Loi binomiale

C. Loi Normale
1°) Soit , ≥ 104 =

=Π 2 = , On a utilisé les formules :

suit la loi normale centrée réduite 0 ; 1 . − 120 104 − 120 ≥ = ≥ −2 = 1 − Π −2 = 1 − 1 − Π 2 8 8 ≥ =1−Π et Π − =1−Π

2°) Calculons d'abord la probabilité que la masse soit dans l'intervalle 104 ; 136 : 104 − 120 − 120 136 − 120 104 ≤ ≤ 136 = ≤ ≤ = −2 ≤ ≤ 2 8 8 8 = 2Π 2 − 1 = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544 On a utilisé la formule : − ≤ ≤ =2Π − 1. La probabilité que le sachet soit rejeté est donc : 1 − 0,9544 = , .

Exercice 2 : A. Etude d'une fonction
1°) On a lim e −0,125t = 0 donc lim 1 + 4,9e −0,125t = 1 + 4, 9 × 0 = 1 . t →+∞ t →+∞

On en déduit que lim f ( t ) = 1 . t →+∞

On en déduit que la courbe C admet une asymptote horizontale D en +∞, d'équation = . 2°) 0 5 10 15 20 25 0,17 0,28 0,42 0,57 0,71 0,82 =
,
,

30 0,90

3°) a) avec Donc ′

=1 ; =

=0 ; =

=

= 1 + 4,9
, ,
,

, b) ′ est positive pour tout ∈ 0 ; +∞ , en effet : 0,6125 est une constante positive, positif car