Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2006 - groupement B
Éléments de correction
Exercice 1
A. Résolution d’une équation différentielle
1. L’équation caractéristique associée à (E0 ) est : r 2 − 3r − 4 = 0.
Le disciminant ∆ = 9 + 16 = 25 est stictement positif. L’équation caractéristique admet alors deux racines rélles distinctes r1 = −1 et r2 = 4.
Les solutions de l’équation différentielle (E0 ) sont alors les fonctions définies sur R par : y(x) = λe−x + µe4x

avec λ et µ réels.

2. On a, pour tout x ∈ R, h(x) = xe−x .
Par dérivation, on obtient pour tout x réel : h′ (x) = e−x − xe−x ⇔ h′ (x) = (1 − x)e−x . et h′′ (x) = −e−x − (1 − x)e−x ⇔ h′′ (x) = (x − 2)e−x .
En reportant dans (E), on obtient : h′′ (x) − 3h′ (x) − 4h(x) = (x − 2)e−x − 3(1 − x)e−x − 4xe−x
= (x − 2 − 3 + 3x − 4x)e−x
= −5e−x . h est donc une solution particulière de (E).
3. Les solutions de (E) sont données par la somme d’une solution particulière de (E) et de la solution générale de l’équation homogène associée (E0 ), d’où les solutions de (E) sont les fonctions y définies sur R par : y(x) = xe−x + λe−x + µe4x avec λ et µ réels.
4. On a f (x) = xe−x + λe−x + µe4x d’où f (0) = λ + µ. f ′ (x) = (1 − x)e−x − λe−x + 4µe4x d’où f ′ (0) = 1 − λ + 4µ.
On cherche la fonction f solution particulière de (E) telle que f (0) = 2 et f ′ (0) = −1.
On obtient alors le système suivant : λ+µ =2
−λ + 4µ = −2

⇔

λ =2
.
µ =0

La fonction f est alors : f (x) = xe−x + 2e−x ⇔ f (x) = (x + 2)e−x .
B. Étude locale d’une fonction
1. Le développement limité à l’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction exponentielle est : et = 1 + t +

t2 t3
+ + t3 ε(t) avec lim ε(t) = 0. t→0 2
6

En posant t = −x, on obtient : e−x = 1 − x +

x2 x3
−
+ x3 ε(x) avec lim ε(x) = 0. x→0 2
6
1

Par produit avec x − 2, il vient : x2 x3
−
+ x3 ε(x)
2
6 x3 x3
+ x − x2 +
+ x3 ε(x) ne garder que les termes de degré inférieur à 3
= 2 − 2x + x2 −
3
2
x3