'Universit´ Paris IX Dauphine e ´ UFR Math´matiques de la decision e Notes de cours

ALGEBRE 2
Guillaume CARLIER

L1, ann´e 2006-2007 e

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Ce support de cours est bas´ sur le poly de Tristan Tomala des ann´es e e pr´c´dentes. e e

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Table des mati`res e
1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . 1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels 7 7 8 8 11 13 14 14 15 16 17 17 18 18

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e 2 Applications lin´aires 2.1 D´finitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . e 2.2 Propri´t´s ´l´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . e e ee 2.3 Image et noyau d’une application lin´aire . . . . . e 2.4 Cas de la dimension finie : le th´or`me du rang . e e 2.4.1 Le th´or`me du rang et ses applications . . e e 2.4.2 Le th´or`me du rang si dim(E) = dim(F ) e e 2.5 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Repr´sentation matricielle e 20 3.1 Caract´risation d’une application lin´aire par l’image d’une base 20 e e 3.2 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . 20 e 3.2.1 Liens avec le calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.3 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4.1 Action d’un changement de base sur les composantes d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e 3.4.2 Action d’un changement de base sur la matrice repr´sentant e une