Cours éléments fini

9756 mots 40 pages
Notes de cours sur la m´thode des ´l´ments finis e ee

M1 MAI

Eric Blayo Janvier 2010

ii

Table des mati`res e
1 Outils d’analyse fonctionnelle 1.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Normes et produits scalaires . . . . . 1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets 1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notion de d´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . e e e e e 1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . 1.3.2 D´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . . e e e e e 1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Les espaces H m . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Trace d’une fonction . . . . . . . . . 1.4.3 Espace H1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 0 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 9 9 9 10 10 11 11 11 12 13 13 14 14 15 15 16 17 20 20 20 21

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2 Introduction ` la m´thode des ´l´ments finis a e ee 2.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemple 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Exemple 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Formulation g´n´rale . . . . . . . . . . . . e e 2.2 Existence et unicit´ de la solution . . . . . . . . . e 2.2.1 Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.2 Th´or`me de Lax-Milgram . . . . . . . . . e e 2.2.3 Retour a l’exemple 1-D . . . . . . . . . . . ` 2.2.4 Remarque: condition inf-sup . . . . . . . . 2.3 EDP elliptiques d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Approximation interne . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Principe g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.4.2 Interpr´tation de uh . . . . . . . . . . . . e

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