ENS Cachan Mathématiques
Préparation à l’agrégation Année 2014/2015
Analyse Fonctionnelle
Arthur Leclaire
Références
[B] H. Brézis. Analyse Fonctionnelle. Dunod, 1999.
[CLF] A. Chambert-Loir, S. Fermigier, et V. Maillot. Exercices de Maths pour l’Agrégation. Masson, 1997.
[GT] S. Gonnord et N. Tosel. Topologie et Analyse Fonctionnelle. Ellipses, 1996.
[HL] F. Hirsch et G. Lacombe. Elements d’Analyse Fonctionnelle. Dunod, 1999.
[LM] G. Lacombe et P. Massat. Analyse Fonctionnelle, Exercices corrigés. …afficher plus de contenu…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Suites Régularisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espaces de Fonctions de Classe C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Opérateurs Linéaires Continus 14
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Le Théorème de Banach-Steinhaus... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 ... et ses Spectaculaires Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …afficher plus de contenu…

Remarque 7. Le théorème est faux si E n’est pas un espace de Banach. En effet, dans l’espace E des suites réelles nulles à partir d’un certain rang, muni de la norme sup, on obtient un contre-exemple en considérant les opérateurs Tn : E → R définis par
∀u ∈ E, Tn(u) = n∑ p=0 up .
Exercice 25. Démonstration du Théorème 9 [B]
1. On considère, pour n ∈ N∗, les ensembles An = {x ∈ E, | ∀i ∈ I, ‖Ti(x)‖ ≤ n}.
Montrer qu’il existe n0 ∈ N∗, tel que
◦
An0 6= ∅.
2. En déduire l’existence d’une boule ouverte B(x0, r), telle que
∀z ∈ B(x0, r), ‖Ti(z)‖ ≤ n0 .
3. Conclure.
152.3 ... et ses Spectaculaires Conséquences
Théorème 10. Il existe un Gδ dense Ω0 ⊂ C0
2π tel que pour toute f ∈ Ω0, la série de
Fourier de f diverge en 0.
Exercice 26. I DEV J Démonstration du Théorème 10