01. Les nombres complexes

1
1.1

Introduction
Construction de C

En mathématiques, il arrive souvent que l’on introduise de nouveaux objets pour résoudre un problème : par exemple, les grecs pensaient que seuls les nombres rationnels existaient, mais on a √ vu que 2, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, était irrationnel. On a complété Q en R. De même, nous savons tous qu’un nombre négatif n’a pas de racine, on introduit le symbole i tel que i2 = −1 et l’ensemble des éléments a + ib avec a et b réels s’appelle l’ensemble des nombres complexes (ici + est un symbole) : C = {a + ib, a, b ∈ R} que l’on munie de deux opérations : 1. addition : (a + ib) + (a + ib ) = (a + b) + i(b + b ) ; 2. multiplication (a + ib) × (a + ib ) = aa − bb + i(ab + a b). Avec la convention a + i0 = a, on identifie d’une part R comme un sous-ensemble de C et on définit une opération externe . de R sur C : ∀α ∈ R, α.(a + ib) = αa + iαb. Enfin, avec cette convention, le signe + dans la définition de C correspond bien à l’addition entre complexe. Si z = a + ib avec a, b ∈ R, on appelle a la partie réelle de z, notée Re (z) et b la partie imaginaire de z, notée Im (z). On a donc z = Re z + iIm z.

1.2

Interprétation géométrique

On peut identifier C avec R2 et donc avec le plan euclidien P muni d’un repère (O, i, j), et 1. à tout complexe z = a + ib, on associe le point M de coordonnées (a, b). On dit que M a pour affixe z. −→ − 2. à tout vecteur de u du plan on associe un unique point M d’affixe z tel que OM = u et on dit que u est d’affixe z.

M : z = x + iy y

O

x

1

Rappelons que si P est le plan euclidien muni d’un repère (O, i, j), si z et z sont les affixes −− − → −→ −− −→ − respectivement des points M et M , alors z + z est l’affixe du vecteur OM = OM + OM . De −→ − même α.z est l’affixe du vecteur du vecteur α.0M :
M ’’(z’’= z + z’)

M ’(z’)

M (z)

O

2

Structures algébriques de C
1. ∀z1 , z2 , z3 ∈ C, z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 , on dit que