Cours de maths financières
8497 mots
34 pages
Suites arithmétiques et intérèts simples1 Définition.
Une suite (an )n∈N de nombres réels est dite ”arithmétique” si chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du terme suivant (sauf le premier évidemment ). soit: an = 1 ( an−1 + an+1 ) pour n = 0 2
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Sens de variation d’une suite.
Il existe un nombre réel r appelé raison de la suite (an )n∈N tel que, pour tout n entier naturel: an+1 = an + r. * si r < 0 alors la suite est décroissante * si r = 0 alors la suite est constante * si r > 0 alors la suite est croissante
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Propriétés.
a) lien entre les termes et le premier. an = a1 + (n − 1) r * si a1 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel non nul : an = a0 + n r * si a0 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel : b) somme S des termes d’une progression arithmétique: (nbre de termes − 1) × (nbre de termes) S = (nbre de termes) × (1er ) + × (raison) 2 1er + dernier S = (nbre de termes) × ou encore 2 soit: 1 cas: Sn = a1 + a2 + ... + an = er n × a1 +
(n − 1) × n a1 + an ×r n× 2 = 2
1
2
eme `
cas: Sn = a0 +a1 +...+an−1 = n n × a0 +
(n − 1) × n a0 + an−1 ×r n× 2 = 2 n × (n + 1) 2
c) somme des entiers naturels successifs de 0 à n . n k= k=0 n k=1
k = 0 + 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) + n = n k= soit k=0 k=1
k=
(plus grand entier) × ( entier suivant) 2
4
Exemples
Soit a1 le 1er terme et r la raison. Calculer r dans chacun des cas suivants. a) a1 = 1, an = 31, Sn = 176 b) a1 = 1 et 4 est égal au rapport entre le 8ème terme et le 3ème terme c) a1 = 1 et 3 est égal à la différence des carrés du 10ème et du 7ème termes réponses: (n − 1) × n a1 + an ×r = n× 2 2 (n − 1) × n 1 + 31 ×r = n× = 16n soit 176 = n × 1 + 2 2 alors n = 11 et r = 3 a) 176 = a1 + a2 + ... + an = n × a1 + b) a8 = a1 + 7r = 1+7r et a3 = 1 + 2r alors 4 =
1+7r 1+2r
4+8r = 1+7r puis r = -3 d’où 1;-2;-5;-8;... c) 3 = (1 + 9r)2 −(1 + 6r)2 soit 3 = 1 + 18r + 81r2 − 1 − 12r − 36r2 45r2 + 6r − 3 = 0 ∆