Cours L1

Pages: 208 (88061 mots) Publié le: 23 juin 2015
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´ (L1)
COURS DE MATHEMATIQUES
PREMIERE
ANNEE
´ DENIS DIDEROT PARIS 7
UNIVERSITE
Marc HINDRY
Introduction et pr´esentation.

page 2

1 Le langage math´ematique

page 4

2 Ensembles et applications

page 8

3 Groupes, structures alg´ebriques

page 23

4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C

page 33

5 L’anneau des entiers Z

page 46

6 L’anneau des polynˆ
omes

page 53

7Matrices

page 65

8 Espaces vectoriels

page 74

9 Applications lin´eaires

page 84

10 Introduction aux d´eterminants

page 90

11 G´eom´etrie dans le plan et l’espace

page 96

Appendice : R´esum´e d’alg`ebre lin´eaire

page 105

12 Suites de nombres r´eels ou complexes

page 109

13 Limites et continuit´e

page 118

14 D´eriv´ees et formule de Taylor

page 125

15 Int´egration

page 135

16 Quelquesfonctions usuelles

page 144

17 Calcul de primitives

page 153

18 Int´egrales impropres

page 162

19 Courbes param´etr´ees et d´eveloppements limit´es

page 167

20 Equations diff´erentielles

page 178

21 Fonctions de plusieurs variables

page 189
1

Tous les chapitres sont importants. Le premier chapitre est volontairement bref
mais fondamental : il y aura int´erˆet `
a revenir sur lesnotions de langage math´ematique et
de raisonnement tout au long du cours, `
a l’occasion de d´emonstrations. Les chapitre 19
et 20 reposent sur une synth`ese de l’alg`ebre (lin´eaire) et de l’analyse (calcul diff´erentiel et
int´egral) tout en ´etant assez g´eom´etriques. Le chapitre 21 (fonctions de plusieurs variables)
appartient en pratique plutˆ
ot `
a un cours de deuxi`eme ann´ee; il a ´et´eajout´e pour les
´etudiants d´esirant anticiper un peu ou ayant besoin, par exemple en physique, d’utiliser
les fonctions de plusieurs variables et d´eriv´ees partielles, d`es la premi`ere ann´ee.
L’ordre des chapitres. L’ordre choisi n’est que l’un des possibles. En particulier
on pourra vouloir traiter l’“analyse” (chapitres 12-20) en premier : pour cela on traitera
d’abord le chapitre sur les nombresr´eels et complexes (ou la notion de limite est introduite
tr`es tˆ
ot), le principe de r´ecurrence et on grapillera quelques notions sur les polynˆ
omes
et l’alg`ebre lin´eaire. La s´equence d’alg`ebre lin´eaire (chapitres 7-11) est tr`es inspir´ee de
la pr´esentation par Mike Artin (Algebra, Prentice-Hall 1991) mais on peut choisir bien
d’autres pr´esentations. On pourra aussi par exemplepr´ef´erer ´etudier Z avant R et C (du
point de vue des constructions, c’est mˆeme pr´ef´erable!). Le chapitre 16 sur les fonctions
usuelles peut ˆetre abord´e `
a peu pr`es `
a n’importe quel moment, quitte `
a s’appuyer sur les
notions vues en terminale.
Nous refusons le point de vue : “... cet ouvrage part de z´
ero, nous ne
supposons rien connu...”. Au contraire nous pensons qu’il faut s’appuyer surles connaissances de terminale et sur l’intuition (notamment g´eom´etrique). Il semble parfaitement
valable (et utile p´edagogiquement) de parler de droites, courbes, plans, fonction exponentielle, logarithme, sinus, etc ... avant de les avoir formellement introduit dans le cours. Il
semble aussi dommage de se passer compl`etement de la notion tr`es intuitive d’angle sous
pr´etexte qu’il s’agitd’une notion d´elicate `
a d´efinir rigoureusement (ce qui est vrai).
Illustrations : Nous avons essay´e d’agr´ementer le cours d’applications et de motivations provenant de la physique, de la chimie, de l’´economie, de l’informatique, des sciences
humaines et mˆeme de la vie pratique ou r´ecr´eative. En effet nos pensons que mˆeme si
on peut trouver les math´ematiques int´eressantes et belles en soi,il est utile de savoir que
beaucoup des probl`emes pos´es ont leur origine ailleurs, que la s´eparation avec la physique
est en grande partie arbitraire et qu’il est passionnant de chercher `
a savoir `
a quoi sont
appliqu´ees les math´ematiques.
Indications historiques Il y a h´elas peu d’indications historiques faute de temps,
de place et de comp´etence mais nous pensons qu’il est...
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