´ Universite de Strasbourg ´ ´ Departement de mathematiques

´ Probabilites-Statistiques ´ BMC annee 2011-2012

Pr´paration aux concours du SCAV. e
1
1.1

D´nombrement et notations e
Op´rations sur les ensembles e

Soit A et B deux ensembles. Nous notons A∪B la r´union de ces ensembles, A∩B leur intersection, e A × B le produit cart´sien, c’est ` dire {(x, y) | x ∈ A et y ∈ B}. La diff´rence ensembliste de A et B e a e se note A − B ou A\B. Il s’agit de {x ∈ A | x ∈ B}. Finalement P(A) est l’ensemble des parties de / A, c’est-`-dire un ensemble dont les ´l´ments sont les sous-ensembles (=parties) de A. a ee La r´union et l’intersection se g´n´ralisent : i∈I Ai et i∈I Ai . Ici I est un ensemble d’indices (pas e e e n´ssairement des nombre). Le plus souvent c’est N o` {1, . . . , N } pour un entier N . e u

1.2

Cardinal d’un ensemble

Le cardinal d’un ensemble est son nombre d’´l´ments. On a #(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B). ee Si B ⊂ A on a #(A\B) = #A − #B. Le cardinal de l’ensemble des parties de A est #P(A) = 2#A .

1.3

Permutations, arrangements, combinaisons

On peut ordonner k ´l´ments d’un ensemble ` n ´l´ments (comme au tierc´ n = 18 et k = 3). Il ee a ee e s’agit du nombre d’arrangements de k ´l´ments parmi n. Cela vaut n × . . . × (n − k + 1) (remarque : ee il y a k facteurs). Quand k vaut n, on obtient le nombre de permutations n! = n × (n − 1) × . . . × 2 × 1. n! Le nombre de combinaison n := k!(n−k)! est le nombre de parties ` k ´l´ments d’un ensemble ` a ee a k n ´l´ments. ee Remarque 1. On remarque que #P(A) = 2#A =
#A n k=0 k

.

1.4

Formule du binˆme de Newton o

Voici cette formule, valable pour tout x, y ∈ C et n ∈ N : n (x + y) = k=0 n

n k n−k x y . k

Une formulation ´quivalente est e (x + y)n = i+j=n n i j xy . k

Exemple 2. En appliquant la formule de Newton ` x = 1 et y = 1 on retrouve la relation observ´e a a e ` la remarque 1 Voici maintenant une d´monstration de cette formule. On observe