DÉRIVATION
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud ∗

1

Nombre dérivé :

1.1

Dérivabilité en un point :

On considère une fonction f définie sur un intervalle I ouvert, et trois réels a, h et x tels que a ∈ I, a + h ∈ I et x ∈ I.

Définition 1.1. La fonction f est dite dérivable en a si le taux de variation de f de a à a + h, f (a + h) − f (a)
, a une limite finie quand h tend vers 0, de sorte que h = 0. Si cette limite existe, on h l’appelle le nombre dérivé de f en a et on la note f ′ (a).
Mathématiquement, on écrit : f ′ (a) = lim

h→0 h=0 f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
= lim
.
x→a h x−a x=a y
(Cf )
M

f (a + h)

hε(h)

t
A

f (a) j 1.2

a

a+h

x

f ′ (a) est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe de f .

Équation de la tangente (At) :

La tangente à la courbe de f en A a pour équation : y = f ′ (a)(x − a) + f (a).
∗ Université

f (a + h) − f (a)

i
O

Remarque :

hf ′ (a)

de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex

1

♣

1.3

Exemples de fonctions non dérivables en un point :

1. La limite du taux de variation est infinie :
√
√ f (0 + h) − f (0) h 1
La fonction f (x) = x n’est pas dérivable en 0. En effet,
=
= √ , et h h h f (0 + h) − f (0)
= +∞. Mais comme la fonction est définie en 0, la tangente à la courbe en 0 lim h→0 h h>0

est verticale.
2. Il existe une dérivée à droite et une dérivée à gauche, mais elles sont différentes : f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) a une limite notée f ′ (a+ ), et lim a une limite notée f ′ (a− ),
Si lim h→0 h→0 h h h0 avec f ′ (a+ ) = f ′ (a− ), f n’est pas dérivable en a. Mais f possède une dérivée à droite et une dérivée à gauche, qui sont différentes. Graphiquement, la courbe de f présente un point anguleux.
Exemple : la courbe de la fonction f (x) = |x| présente en 0 un point anguleux, et cette fonction n’est pas dérivable en 0.
3. Le taux de variation n’a pas de limite :
La