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Introduction à la méthode du simplexe

Karam ALLALI

FI GE 2009-2010

K. Allali

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FI GE 2009-2010

RO

Méthode de résolution algébrique : l’algorithme du simplexe
- Pour des modèles linéaires continus dont les variables sont non négatives et dont les contraintes technologiques sont écrites sous forme d’équations (i.e. avec un « = » au lieu d’une inégalité du type
« < » ou « > »)
- Remarque : dans le cours, on ne montre pas comment appliquer cette méthode « à la main ». Il s’agit plutôt de savoir utiliser les résultats dans le cadre d’une analyse de sensibilité.
Forme générale d’un programme linéaire (PL)

n variables m contraintes

Max (Min) z = c1x1 + c2x2 + …+ cnxn
Sous les contraintes : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn

 ≤
 
 ≥  b1
 =
 

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn

 ≤
 
 ≥  b2
 =
 

.
.
. am1x1 + am2x2 + … + amnxn

 ≤
 
 ≥  bm
 =
 

x1 , x2 , … , xn > 0
Pour pouvoir utiliser cette méthode lorsque les contraintes comportent des inégalités, il faut introduire de nouvelles variables non négatives. Ces nouvelles variables permettront de transformer le modèle linéaire en un modèle équivalent où toutes les contraintes technologiques sont de type
« = ».

K. Allali

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Transformation d’un modèle (PL) en un modèle (PL=)
Variable d’écart :

Pour transformer une contrainte du type « < » en une contrainte du type « = ».
Quantité qu’il faut ajouter au coté gauche de la contrainte pour atteindre l’égalité.

Variable d’excédent : Pour transformer une contrainte du type « > » en une contrainte du type « = ».
Quantité qu’il faut soustraire au coté gauche de la contrainte pour atteindre l’égalité.
Exemples :
Contrainte1 :

a11x1 + a12x2

<

b1

Introduction d’une nouvelle variable non négative « e1 » :
Contrainte 1’ : a11x1+ a12x2 + e1 = b1 e1 = b1 – (a11x1+a12x2)
(variable d’écart)

Contrainte2 :

a21x1 + a22x2

>

b2

Introduction d’une nouvelle variable non négative « e2 » :
Contrainte 2’ :