SYSTEMES LINEAIRES DU DEUXIEME ORDRE

- A – INTRODUCTION :

L’étude porte sur la mise en œuvre d’un système industriel commandé. Celui-ci peut se représenter sous forme de chaîne symbolisée par une suite de quadripôles.

Afin de prévoir le comportement de l’ensemble, il faut modéliser chaque bloc en déterminant les équations qui lient les grandeurs d’entrée et de sortie.

Les systèmes linéaires réels répondent à des lois qui s’expriment sous formes d’équations différentielles. Deux cas peuvent se produirent :

Le système linéaire est parfaitement connu, ainsi que les lois qui permettent une mise en équation des grandeurs d’entrée et de sortie. La résolution de ces équations se fait par la transformation de Laplace. L’étude est conduite en deux temps, une première étude est mathématique, puis une seconde expérimentale venant confirmer la théorie.

Le système est mal connu, sa mise en équation impossible, seule une étude expérimentale pourra permettre de déterminer les valeurs des paramètres qui interviennent dans la mise en équation du système.

- B – TRANSFORMATION DE LAPLACE :

- 1 – Mise en équation du système :

Soit le système :

L‘équation différentielle qui relie x (t) à y (t) est de la forme :

TRANSFORMATION COMPLEXE
TRANSFORMATION DE LAPLACE
On remplace x (t) par X
On remplace x (t) par X (p)
On remplace y (t) par Y
On remplace y (t) par Y (p)
La dérivation correspond à une multiplication par j
La dérivation correspond à une multiplication par p
L’intégration correspond à une division par j
L’intégration correspond à une division par p
Dans la cas d’un condensateur :

Dans la cas d’un condensateur :

Dans la cas d’une inductance pure :

Dans la cas d’une inductance pure :

TRANSFORMATION LIMITEE
AU CAS OU
LE SIGNAL EST SINUSOIDAL
TRANSFORMATION VALABLE
QUEL QUE SOIT LE
SIGNAL D’ENTREE

On se limite à l’étude d’un système du deuxième ordre, on étudie donc l’équation différentielle suivante :

Elle correspond à la