VECTEURS ET DROITES

I. Colinéarité de deux vecteurs

Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est-àdire qu’il existe un nombre réel k tel que u  kv .

Critère de colinéarité :
x  x' Soit u et v deux vecteurs de coordonnées   et   dans un repère (O, i , j ).  y  y ' Dire que u et v sont colinéaires re ient dire que les coordonnées des deux ecteurs sont proportionnelles soit : xy’ – yx’ = 0.

Démonstration :

Exemple :
5   7  Vérifier si les vecteurs u   et v   sont colinéaires.  4  5 

II. Equations de droite 1) Vecteur directeur d'une droite Définition : D est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u qui possède la même direction que la droite D.

2) Equation cartésienne d'une droite Théorème et définition : Toute droite D admet une équation de la forme ax  by  c  0 avec  a ; b    0 ; 0  . Un vecteur directeur de D est u  b ; a  . Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D. Démonstration :

Exemple : Soit une droite d d'équation cartésienne 4x  5y  1  0 . Alors le vecteur u de coordonnées est un vecteur directeur de d.

Théorème réciproque : L'ensemble des points M(x ; y) tels que ax  by  c  0 avec  a ; b    0 ; 0  est une droite D de vecteur directeur u  b ; a  .
- Admis -

Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur On considère un repère O ; i ; j du plan. 1) Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A(3 ; 1) et de vecteur directeur u (-1 ; 5). 2) Déterminer une équation cartésienne de la droite d' passant par les points B(5 ; 3) et C(1 ; -3).





3) Equation cartésienne et équation réduite Si b  0 , alors l'équation cartésienne ax  by  c  0 de la droite D peut être ramenée à une a c équation réduite y   x  . b b a c Le coefficient directeur de D est  , son ordonnée à l'origine est 