Cours de Mathématiques – Première STI2D – Chapitre 1 : Le second degré

Chapitre 1 – Le Second Degré
A) Résolution de l'équation du second degré
1) Définitions
On appelle polynôme de second degré l’expression a x² + b x + c (avec a non nul).
On appelle équation du second degré une équation de la forme a x² + b x + c = 0, où a, b et c sont trois réels donnés, avec a différent de 0.
Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x telles qui rendent cette égalité vraie.
Ces nombres sont appelés "solutions de l'équation ou "racines du polynôme" (on peut aussi dire par abus de langage racines de l'équation).

2) Cas particuliers (rappel de seconde)
a) Si c = 0
On peut mettre x en facteur, d'où x (a x + b) = 0, ce qui donne x = 0 ou ax + b = 0, soit: x = 0 ou x = -b / a
b) Si b = 0
On a alors a x² + c = 0, soit a x² = - c, d'où on en déduit que x² = - c / a car on a vu que a ≠ 0.
Il y a alors deux cas :
- Si - c / a < 0, alors il n'y a pas de solution (un carré ne peut pas être négatif)
- Si - c / a > 0, on a deux solutions x =

√

√

−c
−c
ou x =− a a .

c) Exemples
Résoudre :
2x² -3x = 0

x² – 4 = 0

2x² + 7 = 0

5x² – 3 = 0

3) Cas général
Soit l'équation ax² + bx + c = 0, avec a non nul.
On calcule Δ = b² – 4ac.

Δ s'appelle le discriminant de l'équation.

Si Δ < 0, il n'y a pas de solution.

−b
, qu'on appelle "racine double".
2a
−b− √ Δ
−b+ √ Δ et x 2=
Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes x 1 =
2a
2a
Si Δ = 0, il y a une solution unique x 1 =

Démonstration :
Le but est de se ramener à une équation de la forme X² = A où X = p x + q et A,p et q des constantes. page 1 sur 9

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(

(

Or on a par l'identité remarquable :

b x+ 2a

On a donc en posant Δ = b² – 4 a c :
2
b b² c a x 2 +bx + c=a x+
−
+ =a
2a
4 a² a

[( )

)

2

2

= x² +

b b² . x+ a
4 a²

] [( ) ]

] [( )

2