Chapitre IV :Ordre et valeur absolue
I. Ordre et comparaison
Comparer deux nombres réels a et b, c’est chercher à savoir quel est le plus grand (ou s’ils sont égaux).
Dire que a < b équivaut à dire que a – b < 0.
Ainsi, comparer a et b revient à étudier le signe de a – b. exemples : Soient a et b deux nombres réels, comparer a² + b² et (a + b)².
a) Ordre et addition
Propriété : Si a < b, alors a + c < b + c et a – c < b – c
Autrement dit, ajouter (ou soustraire) un même nombre à chaque membre d’une inégalité ne change pas le sens de l’inégalité.
Propriété : Si a < b et c < d, alors a + c < b + d.
En effet, si a < b, alors a + c < b + c.
De plus, si c < d, alors b + c < b + d . On en déduit a + c < b + d.
b) Ordre et multiplication a b
Propriété : Si a < b et c > 0, alors ac < bc et < . c c a b
Si a < b et c < 0, alors ac > bc et > . c c
Autrement dit, multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité,
- par un même nombre strictement positif, ne change pas le sens de l’inégalité.
- par un même nombre strictement négatif, change le sens de l’inégalité.
Propriété : Si a, b, c et d sont des réels positifs tels que a < b et c < d, alors ac < bd.
En effet, si a < b, alors ac < bc car c > 0.
De plus, si c < d, alors bc < bd car d > 0. On en déduit : ac < bd.
c) Encadrement
Soient a, b et x trois nombres réels. On dit que a et b encadrent x lorsque a ≤ x ≤ b.
Exercice : x est un réel tel que –1 < x < 2. On pose B = -2x – 3.
Trouver un encadrement de B.
II. Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses
a) Passage au carré, à la racine carrée
Propriété : a et b étant deux nombres positifs distincts, a < b équivaut à a² < b². démonstration : On sait que a² – b² = (a – b)(a + b). Comme a et b sont positifs, a + b est aussi positif et on en déduit que a – b et a² et b² sont de même signe. D’où
- si a < b, alors a – b < 0 donc a² – b² < 0 et a² < b².
- si a² < b², alors a² – b² < 0 donc a – b < 0 et a < b.
Autrement dit, deux nombres positifs sont rangés dans