Les méthodes d'intégration numérique

L'intégration numérique
L'intégration numérique est un chapitre important de l'analyse numérique et un outil indispensable en physique numérique.
On intègre numériquement dans deux cas principaux: * on ne peut pas intégrer analytiquement, * l'intégrande est fourni non pas sous la forme d'une fonction mais de tableaux de mesures, cas d'ailleurs le plus fréquent dans la vraie vie.
Les méthodes numériques d'intégration d'une fonction sont nombreuses et les techniques très diverses. Des très simples, comme la méthode des rectangles aux très complexes comme certaines variétés de la méthode de Monte-Carlo. Nous n'aborderons ici que des méthodes (ou schémas)simples voire simplistes. Mon but est de vous donner un outil pour intégrer des fonctions pas très tourmentées, celles que l'on rencontre en physique dans le premier cycle universitaire. Pour les autres schémas, on en reparlera...

La méthode des rectangles
L'algorithme
Considérons donc une fonction continue sur un intervalle [a,b]. Je ne vais pas vous faire un cours sur l'intégration! Pour un physicien, intégrer signifie calculer l'aire sous la courbe de la fonction entre a et b.
La première méthode qui vienne à l'esprit, c'est de découper l'aire entre la courbe f(x), l'axe des x et les droites x= a et x = b, en une multitude de petits rectangles de largeur faible, appelons la h, et de hauteur f(h). L'aire sous la courbe est obtenue en sommant tous ces petits rectangles. Voyons cela sur un schéma:

Comme vous le constatez, on a le choix entre trois techniques: * 1 - on fait coïncider le sommet haut gauche du rectangle avec la courbe : c'est la méthode des rectangles à gauche, * 2 - on fait coïncider le sommet haut droit du rectangle avec la courbe : c'est la méthode des rectangles à droite, * 3 - on fait coïncider le milieu du coté haut du rectangle avec la courbe: c'est la méthode du point milieu
Posons h = (b - a)/n, où n est le nombre de