Démonstration

Pages: 6 (1319 mots) Publié le: 9 avril 2012
Condensateurs et circuits RC
I. Le condensateur : d´finition et propri´t´s e ee
D´finition : e

Le condensateur est constitu´ de deux armatures m´talliques s´par´es par un isolant appel´ di´lectrique. e e e e e e

Repr´sentation dans un montage e

L’intensit´ arrive sur l’armature positive et sort par l’armature n´gative. e e

II. Le dipˆle RC : o
Relation entre la charge et l’intensit´du courant : e

L’intensit´ ´lectrique correspond ` la quantit´ de charges electriques qui traverse une section de conducee a e teur par unit´ de temps. e

i

dq dt

La charge s’exprime en coulomb (C), l’intensit´ en amp`re (A) et le temps en seconde (s). e e L’intensit´ est une grandeur alg´brique. Selon le sens du courant, elle peut ˆtre positive (charge) ou n´gative e e e e (d´charge).e

Relation entre charge, capacit´ du condensateur et tension a ses bornes e `
Soit un montage contenant un g´n´rateur de courant constant, une r´sistance et un condensateur. e e e Le graphique repr´sentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) ` courant constant est une e a droite passant par l’origine. Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un r´el. e dq dt On int`gre pour trouver laprimitve ce qui nous donne q(t)=it+A e Pour trouver A (constante d’int´gration), on utilise les conditions initiales. e A t=0, on a q=0 A 0 Soit 0 i ¢ 0   A Uc q Egalisons les deux derni`res ´galit´s, on trouve que e e e k i i ¢ Uc Soit q k i On note C ; C est la capcit´ du condensateur et s’exprime en Farads (F) e k On a la relation suivante : q C ¢ Uc On sait notamment que i Fiche issue dehttp://www.ilephysique.net 1

Constante de temps
Elle d´pend de la valeur de la r´sistance R du conducteur ohmique et de la valeur de la capacit´ C du e e e condensateur.

τ

RC

­ D´termination de la dimension de e
Pour d´terminer la dimension de RC, on fait une analyse dimensionnelle. e Rappel des grandeurs fondamentales :
Grandeur Temps Intensit´ e Dimension T I Unit´ (Syst`meInternational) e e seconde (s) Amp`re (A) e

On cherche ` d´terminer la dimension de RC : a e τ
× Or ÖI × ÖQ× u ÖT × d’o` τ ÖT RC est donc homog`ne ` une dur´e. e a e

RC

τ

¢

ÖQ× ÖU × ÖQ× ÖI ×

τ

ÖQ× ÖI ×

ÖT ×

III. R´ponse du dipˆle RC ` un ´chelon de tension : ´tablissement des ´quations e o a e e e diff´rentielles e
Cas de la charge d’un condensateur :
On r´alise le circuit RCsuivant (le condensateur est initialement d´charg´) : e e e

On cherche ` mod´liser l’´quation diff´rentielle de la charge du condensateur. a e e e ]Mise en ´quation diff´rentielle : e e A t=0, on ferme l’interrupteur K On a la relation Uc   Ur E. dq On sait que Ur Ri et que i . dt dq D’o` Ur R . u dt De plus, on a la relation q C ¢ Uc . Donc Ur dC ¢ U c dUc Ur RC car C est constante. dt dt dUc   Uc E.On a finalement l’´quation suivante : RC e dt R

Fiche issue de http://www.ilephysique.net

2

Puis en divisant le tout par RC, on obtient : dUc Uc E   RC RC dt Solution de l’´quation diff´rentielle : e e La solution de cette ´quation diff´rentielle est : Uc ÔtÕ e e ]V´rification : e

¡ ¡t © E 1 ¡ e RC .

¡t dUc 1 ¡t dUc 0 ¢ Ô1 ¡ e RC Õ   E ¢ e RC dt RC dt Uc E ¡t E E ¡t E dU c RC   RC  RC RC e ¡ RC e dt RC RC La solution est juste.
En ce qui concerne l’intensit´ : e dUc dq On a la relation i soit i C dt dt

E ¡t e RC RC

En remplacant Uc par son expression, on trouve que E ¡t iÔtÕ e RC R

Cas de la d´charge d’un condensateur : e
On r´alise le circuit suivant (le condensateur est initialement charg´) : e e

Mise en ´quation diff´rentielle : e e On a la relation Uc   Ur 0.En proc´dant exactement de la mˆme mani`re pour la tension aux bornes de la r´sistance durant la charge, e e e e on trouve que l’´quation diff´rentielle est : e e duc uc   RC 0. dt Solution de l’´quation diff´rentielle : e e La solution de cette ´quation diff´rentielle est : Uc ÔtÕ e e V´rification : e ¡t ¡t ¡t Ee RC dUc Ee RC Ee RC   dt ¡ RC 0. RC RC La solution est juste. En ce qui concerne...
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