COMPLEMENT DE COURS

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DERIVATION
A La Terre est plate !
Mais non, elle est ronde, rassurez-vous sur mon état ! Cela dit, tant qu’on ne s’éloigne pas trop, pour construire un bâtiment ou tracer la carte d’un département par exemple, on peut bien considérer qu’elle est plate. Mathématiquement, cela s’exprime par le fait que le plan tangent et la sphère restent très proches l’un de l’autre pour peu qu’on ne s’éloigne pas de plus de quelques dizaines de kilomètres. Il en est de même pour les courbes tracées dans le plan. A condition de n’en regarder qu’une « petite » partie, on peut toujours raisonnablement considérer cette partie comme rectiligne. Autrement dit, il est bien pratique de voir une courbe comme une succession de petits segments. Mais pourquoi tant d’amour pour les segments, les droites et autres objets rectilignes ? Tout simplement parce que ce sont les seuls à s’exprimer par des formules … simples, des formules où seul intervient le premier degré. Toute la théorie de la dérivation tourne autour de la question suivante : quelle est la droite qui ressemble le plus à une courbe donnée en un point donné ? Ou encore celle-ci qui est équivalente : comment faire pour remplacer une « formule » f(x) compliquée par une « formule » dite affine, c’est à dire du type mx+p qui restera à peu près égale à f(x) sur un certain intervalle ?

Cf D

a pour équation y = f(x) a pour équation y = mx + p

f(a)

A Cf D a

Il est très important de comprendre que le remplacement d’une courbe par une droite ou, ce qui revient au même, d’une fonction quelconque par une fonction affine ne peut se faire que localement, c’est à dire autour d’un point A d’abscisse a. En langage courant, on dirait : « Tant que je ne m’éloigne pas trop de a, je peux remplacer f(x) par mx+ p. Si l’on s’intéresse à un autre point de la courbe, il faudra trouver une autre droite et une autre formule ! Allons plus loin. La courbe et la droite ne se touchent exactement qu’en un