de gaulle en temps de crise

Pages: 6 (1252 mots) Publié le: 26 octobre 2014
SYSTÈME DE TROIS ÉQUATIONS A TROIS INCONNUES
Le principe de résolution d’un système de trois équations à trois inconnues consiste à
former un système équivalent de trois équations dont deux ne contiennent que deux
inconnues.
Exemple 1.
Résoudre :
2x − y − 3z = 1,
3x + 2y − 2z = − 4
− x − 4y + 6z = 22.
Méthode d’élimination par substitution.
Nous commençons par cette méthode parcequ’elle nous semble plus naturelle pour les
débutants. Mais nous conseillons d’utiliser, de préférence, la méthode d’élimination
par addition.
De la première équation, tirons l’expression de y en fonction de x et de z :
2x − 3z − 1 = y
ou
y = 2x − 3z − 1,
et remplaçons y par cette expression dans les deux autres équations. On obtient :
3x + 2(2x − 3z − 1) − 2z = − 4,
− x − 4(2x − 3z − 1) + 6z =22 ;
ou :

soit :

3x + 4x − 6z − 2 − 2z = − 4,
− x − 8x + 12z + 4 + 6z = 22 ;
7x − 8z = − 4 + 2 = − 2 ,
− 9x + 18z = 22 − 4 = 18.

Cette dernière équation peut être simplifiée en divisant ses deux membres par 9.
On est donc ramené à résoudre le système :
2x − y − 3z = 1,
7x − 8z = − 2
− x + 2z = 2.
Entre les deux dernières équations, éliminons z par addition :
1
4

7x − 8z = −2,
− x + 2z = 2

7x − 8z = −2
− 4x + 8z = 8
3x
= 6

On en tire : x = 2.
L’équation : − x + 2z = 2 donne alors :
2z = 2 + x = 2 + 2 = 4,
soit : z = 2.

L’équation :
2x − y − 3z = 1
ou
y = 2x − 3z − 1,
donne enfin :
y = 4 − 6 − 1 = − 3.
Ne pas oublier de remplacer x, y, z, par : 2, − 3, 2 dans le système (I), pour vérifier.
Méthode d’élimination par addition.
Eliminons z paraddition entre les deux dernières équations
3
1

3x + 2y − 2z = − 4,
− x − 4y + 6z = 22

9x + 6y − 6z = −12
− x − 4y + 6z = 22
8x + 2y
= 10

Eliminons z par addition entre la première et la dernière équation.
2
1

2x − y − 3z = 1,
− x − 4y + 6z = 22
ou :

4x − 2y − 6z = 2
− x − 4y + 6z = 22
3x − 6y
= 24
x − 2y
= 8

Résolvons le système :
8x + 2y = 10
+ x − 2y = 8.
Enadditionnant membre à membre, ces deux équations, on obtient : 9x = 18 ou
x = 2.
L’équation : x − 2y = 8 donne alors :
2 − 2y = 8
ou
y = − 3.
Enfin une des équations du système (I), la première par exemple, donne la valeur de z :
4 + 3 − 3z = 1,
z = 2.
Exemple 2.
Résoudre :
3x − z + 2y= 4
3x + z − y= 9
2x − 3y = 2.
La dernière équation de ce système ne contenant pas x, le plus simpleest d’éliminer x,
le plus simple est d’éliminer x par addition entre les deux premières équations :
− 1 3x − z + 2y = 4,
1 3x + z − y = 9

− 3x + z − 2y = − 4
3x + z − y = 9
2z − 3y = 5

Cette équation est incompatible avec la troisième équation du système : 2z − 3y = 2. Le
système proposé est donc impossible.

On remarquera que, si la troisième équation du système était 2z − 3y = 5, lesystème
serait indéterminé.
Méthodes particulières.
Il existe d’autres méthodes pour résoudre un système d’équations. Un système peut
présenter des particularités qui permettent de le résoudre plus rapidement en
employant une méthode adaptée à ces particularités.
Dans l’un des exemples qui suivent, nous exposerons aussi une méthode générale, dite
de Bezout, qu’il peut être utile deconnaître mais que nous ne conseillons pas
d’employer couramment.
EXEMPLE 1. Résoudre :

x= y=z
3 4 5
− 2x − y + 3z = 3
On pourrait mettre un tel système sous la forme :
4x = 3y
5y = 4z
− 2x − y + 3z = 3

ou

4x − 3y = 0
5y − 4z = 0
− 2x − y + 3z = 3.

et le résoudre par la méthode générale.
Il est plus simple d’utiliser ce qu’on appelle une inconnue auxiliaire. Posons :
x = y = z =t3 4 5 .
On en tire :
x = 3t,
y = 4t,
z = 5t.
Reportons dans la dernière équation du système :
− 2 . 3t − 4t + 3 . 5t = 3,
ou :
− 6t − 4t + 15t = 3,
soit :
t=3.
5t = 3
et
5
On en déduit les solutions du système :
x = 3t 9 ,
y = 4t 12 ,
z = 5t =3.
5
5
Une méthode plus élégante consisterait à utiliser une propriété des suites de rapports
égaux. On écrirait :

x = y = z =...
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