Demonstration du theoreme de ptolémée
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-------------------------------------------------Théorème de Ptolémée
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Figure du théorème de Ptolémée.
Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d'unquadrilatère. L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit pour ses calculs liés à l'astronomie. Sommaire [masquer] * 1 Énoncé * 2 Démonstration de l'implication directe * 2.1 Par raisonnement géométrique * 3 Démonstration de la réciproque * 4 Lemme * 5 Voir aussi * 6 Liens externes |
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Énoncé[modifier]
Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.
Avec les notations de la figure, ce théorème peut être traduit par :
Théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère convexe ABCD,
ABCD est inscriptible
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Démonstration de l'implication directe[modifier]
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Par raisonnement géométrique[modifier]
Soit ABCD un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles et sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même .
Construisons le point K tel que et .
On a alors .
Ainsi, les triangles ABK et DBC sont semblables (figure du milieu), de même que ABD et KBC (figure de droite).
On obtient les relations suivantes (voir triangle semblable) : et d'où et en additionnant il vient et par construction .
On en déduit l'égalité du théorème : .
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Démonstration de la réciproque[modifier]
(1) Nous admettrons que l'antécédent d'une droite d par l'inversion de pôle A et de rapport k non nul telle que A n'appartient pas à d est un cercle passant par A, privé de A.
Soient A,B,C et D quatre