Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l’espace
Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l’espace ; ; ; Partie A : Repère et vecteurs coplanaires Exercice 1 1 On considère la droite passant par 2; 1; 1 et de vecteur directeur 1 . 1 Pour chacun des points suivants, précisez s’ils appartiennent à : 3; 0; 0 ; 5; 2; 1 ; ; ; ; 2 √2; 1 √2; √3 1 Exercice 2 On considère les points 2; 3; 2 et 5; 1; 0 . .

Exercice 3 Les points 1; 1; 0 , Exercice 4 Déterminer et

2 et 3 1) Déterminer les coordonnées de et tels que 2) Déterminer les coordonnées du milieu de . 3) Déterminer les coordonnées du point barycentre de ; 2 et 1; 1; 4 et 2 5

1; 1; 3 sont-ils alignés ? Justifier. 1 2 soient colinéaires.

; 3 .

0.

pour que

et

Exercice 5 On considère les points 3; 1; 0 , 5; 2; 1 , 2; 3; 1 et 12; 1; 1 . 1) Les points , , et sont-ils coplanaires ? Justifier. 2) On considère 2; 5; . Déterminer pour que , , et soient coplanaires. On considère 1; 1; √2 et √2; √2; 0 . est le symétrique de par rapport à . Déterminer les coordonnées de puis démontrer que est une triangle rectangle isocèle. Exercice 6 Exercice 7 On considère 1; 0; 1 , 2; 2; 1 , 5; 0; 1 et 2; 2; 1 Démontrer que est un parallélogramme. Est-ce un losange, un rectangle, un carré ? Exercice 8 est un cube. Les points et sont les milieux respectifs de 1) Montrer que les droites et sont sécantes. 2) Les droites et sont-elles sécantes ? Justifier. Exercice 9 On considère trois vecteurs 0 1 , 1 2 1 et 3 1 1 1 et .

et un point .

; ; ;

est-il un repère de l’espace ?

Exercice 10 On considère les points 1) Démontrer que , 2) Les vecteurs ,

2; 1; 0 , et

et ne sont pas alignés.

0; 1; 1 et

0; 3; 2 ainsi que le vecteur

0 0 . 1 en un point . Déterminer ses

sont-ils coplanaires ? Justifier. et de vecteur directeur coupe le plan

3) La droite passant par coordonnées. Exercice 11 On considère les points Calculer et , ,

. Que peut-on