Analyse vectorielle — Étude des champs

2013/2014

CPGE

Mathématiques pour la physique

® La norme d’un vecteur est définie par son carré scalaire :
→
−
U
→ →
− −

Analyse vectorielle — Étude des champs
Note : Selon les normes typographiques actuelles, les grandeurs vectorielles doivent être notées en gras ;
→
− pour des raisons pédagogiques, elles seront ici notées surmontées d’une flèche : U et non U. On rencontre les deux notations dans les sujets de concours.

Les vecteurs
Base vectorielle
→ → →
− − −
Une base vectorielle de l’espace est la donnée de trois vecteurs ( e 1 , e 2 , e 3 ) non coplanaires.
Base orthogonale : les vecteurs de base sont orthogonaux deux à deux.
−
Base normée : les vecteurs de bases sont unitaires : → = 1. S’ils sont orthogonaux, la base est dite ore i →
−

→
−

2

→ →
− −
2
2
2
= U · U = u1 + u2 + u3 .

→→
− −

® On a U · V = U V cos(U , V ).
→
−
→ −
−
− − −
® Les coordonnées du vecteur U dans la base (→1 , →2 , →3 ) sont données par u i = U · →i . e e e e →
−

−
® Soit ∆ une droite orientée de vecteur directeur unitaire →. La composante d’un vecteur U selon la e →
−
→ −
−
direction ∆ (appelée aussi projection de U selon la direction ∆) est le scalaire U∆ = U · →. e Produit vectoriel
→
−
→
−
Étant donnés deux vecteurs U (u 1 , u 2 , u 3 ) et V (v 1 , v 2 , v 3 ), leur produit vectoriel est le vecteur

 u v − u3 v 2
− → →  2 3
→ − −
W = U ∧ V = u3 v 1 − u1 v 3  . u1 v 2 − u2 v 1

Propriétés
→ →
− −

→ →
− −

® Le produit vectoriel est anticommutatif : U ∧ V = − V ∧ U .
→→−
− − →
−
→ → −
−
→ → −
−
→
→
−
® Le trièdre (U , V , W ) est direct ; W ⊥ U et W ⊥ V ; W = U

thonormée.

®

− − −
Base directe : Les vecteurs (→1 , →2 , →3 ) forment une base directe 1 si un tire-bouchon dont la poignée e e e
−
−
−
tourne en ramenant →1 sur →2 avance dans le sens de →3 . e e e →
−
→→
− −
V sin(U , V ) .

® Double